Номер 4.67, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.67, страница 188.

Условие.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (4.67–4.69)

4.67 Определите координаты точки пересечения данных прямых и укажите, в какой координатной четверти она находится:

а) $y = -8x + 27$ и $y = 5x - 25$;

б) $y = 3x - 19$ и $y = x + 2$;

в) $2x - y = 6$ и $12x - 5y = 3$;

г) $y + 4x = 0$ и $y = \frac{3}{2}x + 33$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно решить систему уравнений, которую составляют уравнения данных прямых:

$ \begin{cases} y = -8x + 27 \\ y = 5x - 25 \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны ($y$), приравняем их правые части:

$-8x + 27 = 5x - 25$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы решить уравнение относительно $x$:

$27 + 25 = 5x + 8x$

$52 = 13x$

$x = \frac{52}{13} = 4$

Теперь подставим найденное значение $x=4$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Используем второе уравнение:

$y = 5x - 25 = 5 \cdot 4 - 25 = 20 - 25 = -5$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых: $(4; -5)$.

Определим, в какой координатной четверти находится эта точка. Так как абсцисса $x=4$ положительна ($x > 0$), а ордината $y=-5$ отрицательна ($y < 0$), точка находится в IV (четвертой) координатной четверти.

Ответ: $(4; -5)$, IV координатная четверть.

б) Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 3x - 19 \\ y = x + 2 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$3x - 19 = x + 2$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$3x - x = 2 + 19$

$2x = 21$

$x = \frac{21}{2} = 10.5$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:

$y = x + 2 = 10.5 + 2 = 12.5$

Следовательно, координаты точки пересечения: $(10.5; 12.5)$.

Определим координатную четверть. Так как абсцисса $x=10.5$ положительна ($x > 0$) и ордината $y=12.5$ положительна ($y > 0$), точка находится в I (первой) координатной четверти.

Ответ: $(10.5; 12.5)$, I координатная четверть.

в) Необходимо решить систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 6 \\ 12x - 5y = 3 \end{cases} $

Для решения используем метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 2x - 6$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$12x - 5(2x - 6) = 3$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$12x - 10x + 30 = 3$

$2x = 3 - 30$

$2x = -27$

$x = -\frac{27}{2} = -13.5$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -13.5$ в выражение $y = 2x - 6$:

$y = 2 \cdot (-13.5) - 6 = -27 - 6 = -33$

Координаты точки пересечения: $(-13.5; -33)$.

Определим координатную четверть. Так как абсцисса $x=-13.5$ отрицательна ($x < 0$) и ордината $y=-33$ отрицательна ($y < 0$), точка находится в III (третьей) координатной четверти.

Ответ: $(-13.5; -33)$, III координатная четверть.

г) Найдем точку пересечения, решив систему уравнений:

$ \begin{cases} y + 4x = 0 \\ y = \frac{3}{2}x + 33 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = -4x$

Теперь у нас есть два выражения для $y$, приравняем их:

$-4x = \frac{3}{2}x + 33$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 \cdot (-4x) = 2 \cdot (\frac{3}{2}x) + 2 \cdot 33$

$-8x = 3x + 66$

Решим уравнение относительно $x$:

$-8x - 3x = 66$

$-11x = 66$

$x = \frac{66}{-11} = -6$

Подставим найденное значение $x=-6$ в выражение $y = -4x$, чтобы найти $y$:

$y = -4 \cdot (-6) = 24$

Координаты точки пересечения: $(-6; 24)$.

Определим координатную четверть. Так как абсцисса $x=-6$ отрицательна ($x < 0$), а ордината $y=24$ положительна ($y > 0$), точка находится во II (второй) координатной четверти.

Ответ: $(-6; 24)$, II координатная четверть.