Номер 4.72, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.72, страница 189.

Условие.

4.72 Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{4}{x} - \frac{4}{y} = 4 \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 10 \\ \frac{1}{2x} - \frac{1}{2y} = 1 \end{cases}$$

Указание. Введите замену: $\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$. Решив систему с переменными $a$ и $b$, найдите $x$ и $y$ из равенств $x = \frac{1}{a}, y = \frac{1}{b}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{cases} $$

Введем замену переменных: пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. С новыми переменными система выглядит так:

$$ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 3b = 7 \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(a + 3b) - (a + b) = 7 - 2$

$2b = 5$

$b = \frac{5}{2}$

Подставим значение $b$ в первое уравнение, чтобы найти $a$:

$a + \frac{5}{2} = 2$

$a = 2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}$

Теперь, когда мы нашли $a$ и $b$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{-1/2} = -2$

$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}$

Ответ: $x = -2, y = \frac{2}{5}$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases} $$

Введем замену переменных: $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a - 3b = 1 \\ 3a - b = 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 1 + 3b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(1 + 3b) - b = 1$

$3 + 9b - b = 1$

$8b = -2$

$b = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$

Теперь найдем $a$:

$a = 1 + 3(-\frac{1}{4}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Выполним обратную замену:

$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{1/4} = 4$

$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{-1/4} = -4$

Ответ: $x = 4, y = -4$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{4}{x} - \frac{4}{y} = 4 \end{cases} $$

Введем замену переменных: $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 2a + b = 5 \\ 4a - 4b = 4 \end{cases} $$

Разделим второе уравнение на 4, чтобы упростить его:

$a - b = 1$

Теперь у нас есть система:

$$ \begin{cases} 2a + b = 5 \\ a - b = 1 \end{cases} $$

Сложим оба уравнения:

$(2a + b) + (a - b) = 5 + 1$

$3a = 6$

$a = 2$

Подставим $a = 2$ в уравнение $a - b = 1$:

$2 - b = 1$

$b = 1$

Выполним обратную замену:

$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: $x = \frac{1}{2}, y = 1$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 10 \\ \frac{1}{2x} - \frac{1}{2y} = 1 \end{cases} $$

Введем замену переменных: $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Второе уравнение можно переписать как $\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b = 1$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 10 \\ \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b = 1 \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$a - b = 2$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a + b = 10 \\ a - b = 2 \end{cases} $$

Сложим оба уравнения:

$(a + b) + (a - b) = 10 + 2$

$2a = 12$

$a = 6$

Подставим $a = 6$ в первое уравнение $a + b = 10$:

$6 + b = 10$

$b = 4$

Выполним обратную замену:

$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{6}$

$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{4}$

Ответ: $x = \frac{1}{6}, y = \frac{1}{4}$.