Номер 4.77, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.77, страница 190.

Условие.

4.77 РАССУЖДАЕМ Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению:

a) $x^2 - y^2 = 64$;

б) $x^2 - y^2 = 15$;

в) $x^2 - y^2 = 44$.

Указание. а) Разложите на множители левую часть уравнения, получится уравнение $(x - y)(x + y) = 64$. Числа $x - y$ и $x + y$ — натуральные, причём их произведение равно 64. Найдите все пары натуральных чисел, дающих в произведении 64, и составьте соответствующие системы уравнений. Чтобы не выписывать лишние системы уравнений, можно учесть, что $x > y$, а $x - y < x + y$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2 - y^2 = 64$

Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = 64$.

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x \ge 1$, $y \ge 1$. Из уравнения следует, что $x^2 > y^2$, а значит $x > y$. Таким образом, $x-y$ и $x+y$ являются натуральными числами (целыми и положительными).

Пусть $a = x-y$ и $b = x+y$. Тогда $a \cdot b = 64$. Так как $y$ — натуральное число ($y \ge 1$), то $x+y > x-y$, следовательно $b > a$.

Заметим, что разность чисел $x+y$ и $x-y$ равна $(x+y) - (x-y) = 2y$, что является четным числом. Это означает, что числа $x-y$ и $x+y$ имеют одинаковую четность (оба либо четные, либо нечетные). Так как их произведение $64$ — четное число, то оба множителя должны быть четными.

Найдем все пары натуральных чисел $(a, b)$, которые являются делителями числа 64, и для которых выполняются условия: $b > a$ и оба числа четные.

Пары делителей числа 64: (1, 64), (2, 32), (4, 16), (8, 8).

Условию $b > a$ удовлетворяют пары: (1, 64), (2, 32), (4, 16).

Из них выберем те, в которых оба числа четные: (2, 32) и (4, 16).

Теперь решим две системы уравнений:

1) $\begin{cases} x-y = 2 \\ x+y = 32 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $2x = 34$, откуда $x = 17$.
Подставим значение $x$ во второе уравнение: $17 + y = 32$, откуда $y = 15$.
Пара $(17, 15)$ — натуральные числа, является решением.

2) $\begin{cases} x-y = 4 \\ x+y = 16 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $2x = 20$, откуда $x = 10$.
Подставим значение $x$ во второе уравнение: $10 + y = 16$, откуда $y = 6$.
Пара $(10, 6)$ — натуральные числа, является решением.

Ответ: (17, 15), (10, 6).

б) $x^2 - y^2 = 15$

Разложим левую часть на множители: $(x-y)(x+y) = 15$.

По аналогии с предыдущим пунктом, $x-y$ и $x+y$ — натуральные числа, причем $x+y > x-y$. Также они должны иметь одинаковую четность. Поскольку их произведение $15$ — нечетное, то оба множителя должны быть нечетными.

Найдем все пары натуральных чисел $(a, b)$, которые являются делителями числа 15, и для которых $b > a$ и оба числа нечетные.

Пары делителей числа 15: (1, 15), (3, 5).

Обе пары удовлетворяют условию $b > a$, и в обеих парах числа нечетные. Значит, подходят обе пары.

Решим две системы уравнений:

1) $\begin{cases} x-y = 1 \\ x+y = 15 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = 16$, откуда $x = 8$.
Подставим $x$: $8 + y = 15$, откуда $y = 7$.
Пара $(8, 7)$ является решением.

2) $\begin{cases} x-y = 3 \\ x+y = 5 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = 8$, откуда $x = 4$.
Подставим $x$: $4 + y = 5$, откуда $y = 1$.
Пара $(4, 1)$ является решением.

Ответ: (8, 7), (4, 1).

в) $x^2 - y^2 = 44$

Разложим левую часть на множители: $(x-y)(x+y) = 44$.

Числа $x-y$ и $x+y$ — натуральные, $x+y > x-y$, и они имеют одинаковую четность. Так как их произведение $44$ — четное, оба множителя должны быть четными.

Найдем все пары натуральных чисел $(a, b)$, которые являются делителями числа 44, и для которых $b > a$ и оба числа четные.

Пары делителей числа 44: (1, 44), (2, 22), (4, 11).

Все эти пары удовлетворяют условию $b > a$.

Выберем из них те, в которых оба числа четные. Это только пара (2, 22). (Пара (1, 44) содержит нечетное число 1, пара (4, 11) содержит нечетное число 11).

Составим и решим систему уравнений для единственного подходящего случая:

$\begin{cases} x-y = 2 \\ x+y = 22 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = 24$, откуда $x = 12$.
Подставим $x$: $12 + y = 22$, откуда $y = 10$.
Пара $(12, 10)$ является решением.

Ответ: (12, 10).