Номер 4.76, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.76, страница 190.

Условие.

4.76 Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 + 2x + y^2 = 16 \\ x + y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0 \\ x + 2y = 3. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 2x + y^2 = 16 \\ x + y = 2 \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Выразим переменную y из второго, линейного, уравнения:

$y = 2 - x$

Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$x^2 + 2x + (2 - x)^2 = 16$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 + 2x + 4 - 4x + x^2 = 16$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 2x + 4 = 16$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$x^2 - x - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 1, а их произведение равно -6. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -2.

Таким образом, $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения y, подставляя найденные значения x в выражение $y = 2 - x$.

1. При $x_1 = 3$, $y_1 = 2 - 3 = -1$.

2. При $x_2 = -2$, $y_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

Итак, система имеет два решения.

Ответ: $(3; -1)$, $(-2; 4)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную x:

$x = 3 - 2y$

Подставим это выражение для x в первое уравнение системы:

$(3 - 2y)^2 + y^2 - 2(3 - 2y) - 6y + 6 = 0$

Раскроем скобки:

$(9 - 12y + 4y^2) + y^2 - 6 + 4y - 6y + 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно y:

$(4y^2 + y^2) + (-12y + 4y - 6y) + (9 - 6 + 6) = 0$

$5y^2 - 14y + 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 - 180 = 16$

Найдем корни уравнения для y:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 4}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого y, используя формулу $x = 3 - 2y$.

1. При $y_1 = 1$, $x_1 = 3 - 2(1) = 1$.

2. При $y_2 = \frac{9}{5}$, $x_2 = 3 - 2 \left(\frac{9}{5}\right) = 3 - \frac{18}{5} = \frac{15}{5} - \frac{18}{5} = -\frac{3}{5}$.

Итак, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 1)$, $(-\frac{3}{5}; \frac{9}{5})$.