Номер 4.80, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.80, страница 193.

Условие.

4.80 а) У Вани 25 монет по 5 к. и по 10 к., всего на сумму 1 р. 50 к. Сколько 5-копеечных и сколько 10-копеечных монет у Вани?

б) Для школьного вечера купили 10 коробок печенья по 250 г и по 150 г. Общая масса коробок составила 2,1 кг. Сколько купили коробок печенья каждого вида?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для решения этой задачи составим и решим систему уравнений. Обозначим количество 5-копеечных монет через $x$, а количество 10-копеечных монет через $y$.

Из условия известно, что всего у Вани 25 монет. Это дает нам первое уравнение:
$x + y = 25$

Также известно, что общая сумма денег составляет 1 рубль 50 копеек. Переведем эту сумму в копейки, зная, что в 1 рубле 100 копеек:
$1 \text{ р. } 50 \text{ к.} = 1 \cdot 100 \text{ к.} + 50 \text{ к.} = 150 \text{ к.}$

Общая стоимость 5-копеечных монет составляет $5x$ копеек, а 10-копеечных — $10y$ копеек. Это дает нам второе уравнение:
$5x + 10y = 150$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = 25 \\ 5x + 10y = 150 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 25 - y$.

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:
$5(25 - y) + 10y = 150$
$125 - 5y + 10y = 150$
$125 + 5y = 150$
$5y = 150 - 125$
$5y = 25$
$y = 5$

Мы нашли количество 10-копеечных монет. Теперь найдем количество 5-копеечных монет:
$x = 25 - y = 25 - 5 = 20$

Проверим наше решение.
Всего монет: $20 + 5 = 25$.
Общая сумма: $20 \cdot 5 + 5 \cdot 10 = 100 + 50 = 150$ копеек, или 1 р. 50 к.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: у Вани 20 5-копеечных и 5 10-копеечных монет.

б)

Эту задачу также решим с помощью системы уравнений. Пусть $a$ — количество коробок печенья массой 250 г, а $b$ — количество коробок печенья массой 150 г.

По условию, всего купили 10 коробок. Составим первое уравнение:
$a + b = 10$

Общая масса всех коробок составляет 2,1 кг. Переведем килограммы в граммы, зная, что в 1 кг 1000 г:
$2,1 \text{ кг} = 2,1 \cdot 1000 \text{ г} = 2100 \text{ г}$

Общая масса коробок по 250 г равна $250a$ граммов, а коробок по 150 г — $150b$ граммов. Составим второе уравнение:
$250a + 150b = 2100$

Получили систему уравнений:
$\begin{cases} a + b = 10 \\ 250a + 150b = 2100 \end{cases}$

Для упрощения вычислений разделим обе части второго уравнения на 50:
$(250a + 150b) : 50 = 2100 : 50$
$5a + 3b = 42$

Теперь наша система выглядит так:
$\begin{cases} a + b = 10 \\ 5a + 3b = 42 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 10 - b$.

Подставим это выражение во второе (упрощенное) уравнение:
$5(10 - b) + 3b = 42$
$50 - 5b + 3b = 42$
$50 - 2b = 42$
$2b = 50 - 42$
$2b = 8$
$b = 4$

Мы нашли количество коробок по 150 г. Теперь найдем количество коробок по 250 г:
$a = 10 - b = 10 - 4 = 6$

Проверим наше решение.
Всего коробок: $6 + 4 = 10$.
Общая масса: $6 \cdot 250 + 4 \cdot 150 = 1500 + 600 = 2100$ граммов, или 2,1 кг.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: купили 6 коробок печенья по 250 г и 4 коробки по 150 г.