Номер 4.86, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.86, страница 194.

Условие.

4.86 Туристский маршрут от станции к озеру идёт сначала в гору, а затем с горы. При подъёме туристы идут со скоростью $3 \text{ км/ч}$, а при спуске — $6 \text{ км/ч}$. Путь от станции к озеру занимает $3,5 \text{ ч}$, а обратный путь — $4 \text{ ч}$. Найдите длину маршрута.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи обозначим переменными неизвестные расстояния. Пусть $x$ км — это длина участка маршрута, который идет в гору от станции к озеру, а $y$ км — длина участка, который идет с горы. Тогда общая длина маршрута от станции до озера равна $S = x + y$.

Скорость туристов при подъеме в гору составляет 3 км/ч, а при спуске с горы — 6 км/ч. Время в пути вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.

На пути от станции к озеру туристы сначала преодолевают подъем длиной $x$ км, а затем спуск длиной $y$ км. Общее время в пути, равное 3,5 часам, можно выразить следующим уравнением:
$t_{туда} = \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 3,5$

На обратном пути от озера к станции участок, который был спуском ($y$ км), становится подъемом, а участок, который был подъемом ($x$ км), — спуском. Общее время на обратный путь составляет 4 часа. Это можно выразить вторым уравнением:
$t_{обратно} = \frac{y}{3} + \frac{x}{6} = 4$

В результате мы получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 3,5 \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 4 \end{cases}$

Для удобства решения умножим оба уравнения на 6, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:
$\begin{cases} 6 \cdot (\frac{x}{3}) + 6 \cdot (\frac{y}{6}) = 6 \cdot 3,5 \\ 6 \cdot (\frac{x}{6}) + 6 \cdot (\frac{y}{3}) = 6 \cdot 4 \end{cases}$
После умножения система принимает вид:
$\begin{cases} 2x + y = 21 \\ x + 2y = 24 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 21 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$x + 2(21 - 2x) = 24$
$x + 42 - 4x = 24$
$-3x = 24 - 42$
$-3x = -18$
$x = \frac{-18}{-3}$
$x = 6$

Мы нашли, что длина участка подъема от станции равна 6 км. Теперь найдем длину участка спуска $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 21 - 2x$:
$y = 21 - 2 \cdot 6$
$y = 21 - 12$
$y = 9$

Длина участка спуска от станции равна 9 км.

Общая длина маршрута от станции до озера — это сумма длин участков подъема и спуска:
$S = x + y = 6 + 9 = 15$ км.

Ответ: 15 км.