Номер 4.92, страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.92, страница 195.

Условие.

4.92 Города A, B и C расположены не на одной прямой. Путь из A в B через C на 5 км длиннее, чем прямой путь из A в B. Путь из A в C через B в 4 раза длиннее, чем прямой путь из A в C. Путь из B в C через A равен 85 км. Найдите расстояние между каждыми двумя городами.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие прямые расстояния между городами:

• $x$ (км) – расстояние между городами А и В.
• $y$ (км) – расстояние между городами B и C.
• $z$ (км) – расстояние между городами А и C.

На основе условий задачи составим систему уравнений.

Путь из А в В через С на 5 км длиннее, чем прямой путь из А в В.
Путь из А в В через С — это сумма расстояний $AC + CB$, то есть $z+y$. Прямой путь из А в В — это $x$.
Получаем первое уравнение: $z + y = x + 5$.

Путь из А в С через В в 4 раза длиннее, чем прямой путь из А в С.
Путь из А в С через В — это сумма расстояний $AB + BC$, то есть $x+y$. Прямой путь из А в С — это $z$.
Получаем второе уравнение: $x + y = 4z$.

Путь из В в С через А равен 85 км.
Путь из В в С через А — это сумма расстояний $BA + AC$, то есть $x+z$.
Получаем третье уравнение: $x + z = 85$.

В результате мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
$ \begin{cases} z + y = x + 5 \\ x + y = 4z \\ x + z = 85 \end{cases} $

Приступим к решению системы. Из третьего уравнения выразим $x$:
$x = 85 - z$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$z + y = (85 - z) + 5$
$z + y = 90 - z$
$y = 90 - 2z$

Теперь подставим полученные выражения для $x$ и $y$ во второе уравнение:
$(85 - z) + (90 - 2z) = 4z$
$175 - 3z = 4z$
$175 = 7z$
$z = \frac{175}{7} = 25$
Таким образом, расстояние между городами А и С ($z$) равно 25 км.

Зная $z$, находим остальные расстояния:
Расстояние между А и В: $x = 85 - z = 85 - 25 = 60$ км.
Расстояние между В и С: $y = 90 - 2z = 90 - 2(25) = 90 - 50 = 40$ км.

Убедимся, что города не лежат на одной прямой, проверив выполнение неравенства треугольника:
$AB + BC > AC \implies 60 + 40 > 25 \implies 100 > 25$ (верно).
$AC + BC > AB \implies 25 + 40 > 60 \implies 65 > 60$ (верно).
$AB + AC > BC \implies 60 + 25 > 40 \implies 85 > 40$ (верно).
Условие выполняется.

Ответ: Расстояние между городами А и В составляет 60 км, между городами В и С – 40 км, а между городами А и С – 25 км.