Номер 4.90, страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.90, страница 195.

Условие.

4.90 a) Междугородный автобус проехал от одного города до другого за $17 \text{ ч}$. Некоторое время он ехал со скоростью $35 \text{ км/ч}$, а остальную часть пути — со скоростью $55 \text{ км/ч}$. Определите, сколько часов он ехал со скоростью $35 \text{ км/ч}$ и сколько — со скоростью $55 \text{ км/ч}$, если его средняя скорость была $50 \text{ км/ч}$.

б) Автомобиль затратил $5 \text{ ч}$ на путь от одного города до другого. Часть пути он ехал со скоростью $70 \text{ км/ч}$, а часть пути — со скоростью $90 \text{ км/ч}$, и $1 \text{ ч}$ был затрачен на остановку. Сколько времени он ехал со скоростью $70 \text{ км/ч}$ и сколько — со скоростью $90 \text{ км/ч}$, если его средняя скорость была $60 \text{ км/ч}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $t_1$ — время, которое автобус ехал со скоростью 35 км/ч, а $t_2$ — время, которое он ехал со скоростью 55 км/ч.

Общее время в пути составляет 17 часов, следовательно, первое уравнение системы:

$t_1 + t_2 = 17$

Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения. Общий путь $S_{общ}$ равен сумме путей, пройденных на каждом участке: $S_1 = 35 \cdot t_1$ и $S_2 = 55 \cdot t_2$.

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 35t_1 + 55t_2$

Также общий путь можно найти, умножив среднюю скорость на общее время:

$S_{общ} = v_{ср} \cdot t_{общ} = 50 \text{ км/ч} \cdot 17 \text{ ч} = 850 \text{ км}$

Приравнивая выражения для общего пути, получаем второе уравнение системы:

$35t_1 + 55t_2 = 850$

Теперь решим систему уравнений:

$\begin{cases} t_1 + t_2 = 17 \\ 35t_1 + 55t_2 = 850 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $t_1$:

$t_1 = 17 - t_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$35(17 - t_2) + 55t_2 = 850$

$595 - 35t_2 + 55t_2 = 850$

$20t_2 = 850 - 595$

$20t_2 = 255$

$t_2 = \frac{255}{20} = 12,75$ часа

Теперь найдем $t_1$:

$t_1 = 17 - 12,75 = 4,25$ часа

Таким образом, автобус ехал 4,25 часа со скоростью 35 км/ч и 12,75 часа со скоростью 55 км/ч.

Ответ: 4,25 часа автобус ехал со скоростью 35 км/ч и 12,75 часа — со скоростью 55 км/ч.

б)

Пусть $t_1$ — время движения автомобиля со скоростью 70 км/ч, а $t_2$ — время движения со скоростью 90 км/ч. Общее время, затраченное на путь, составляет 5 часов, из которых 1 час был потрачен на остановку. Следовательно, время, которое автомобиль находился в движении, составляет:

$t_{движ} = 5 \text{ ч} - 1 \text{ ч} = 4 \text{ ч}$

Это время складывается из времени движения на двух участках, получаем первое уравнение:

$t_1 + t_2 = 4$

Средняя скорость рассчитывается по всему времени поездки, включая остановку. Общий путь $S_{общ}$ равен:

$S_{общ} = v_{ср} \cdot t_{общ} = 60 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 300 \text{ км}$

Этот путь был пройден за время движения $t_{движ}$. Общий путь также можно выразить как сумму путей на каждом участке:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 70t_1 + 90t_2$

Получаем второе уравнение:

$70t_1 + 90t_2 = 300$

Упростим второе уравнение, разделив обе части на 10:

$7t_1 + 9t_2 = 30$

Теперь решим систему уравнений:

$\begin{cases} t_1 + t_2 = 4 \\ 7t_1 + 9t_2 = 30 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $t_1$:

$t_1 = 4 - t_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$7(4 - t_2) + 9t_2 = 30$

$28 - 7t_2 + 9t_2 = 30$

$2t_2 = 30 - 28$

$2t_2 = 2$

$t_2 = 1$ час

Теперь найдем $t_1$:

$t_1 = 4 - 1 = 3$ часа

Таким образом, автомобиль ехал 3 часа со скоростью 70 км/ч и 1 час со скоростью 90 км/ч.

Ответ: 3 часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч и 1 час — со скоростью 90 км/ч.