Номер 4.87, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.87, страница 194.

Условие.

4.87 Имеется 40 красных фишек и 45 синих. Их раскладывают на плоской поверхности следующим образом: красные фишки образуют вершины правильного шестиугольника, в центр которого кладётся синяя фишка, а синие фишки образуют вершины квадрата, в центр которого кладётся красная фишка (рис. 4.35). Существует ли такой способ разложения фишек, при котором все они будут использованы? Если существует, то сколько шестиугольников и сколько квадратов получится? Замечание. Многоугольники не должны иметь общих вершин.

4.88 В магазине смешали конфеты по 1100 р. за килограмм и по 1500 р. за килограмм и получили ассорти по 1200 р. за килограмм. Сколько граммов конфет того и другого сорта содержится в одном килограмме ассорти?

Рис. 4.35

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

4.87

Пусть $x$ — количество шестиугольников, а $y$ — количество квадратов. Согласно условию и рисунку, для составления одной фигуры-шестиугольника требуется 6 красных фишек (К) и 1 синяя (С), а для одной фигуры-квадрата — 1 красная фишка и 4 синих.

Всего имеется 40 красных и 45 синих фишек. Чтобы использовать все фишки, необходимо составить такую комбинацию фигур, которая потребует ровно 40 красных и 45 синих фишек. Составим систему уравнений на основе количества фишек каждого цвета:

• Уравнение для красных фишек: $6x + y = 40$
• Уравнение для синих фишек: $x + 4y = 45$

Получаем систему линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 6x + y = 40 \\ x + 4y = 45 \end{cases}$

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 40 - 6x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$x + 4(40 - 6x) = 45$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$x + 160 - 24x = 45$

$160 - 23x = 45$

$23x = 160 - 45$

$23x = 115$

$x = \frac{115}{23} = 5$

Итак, количество шестиугольников равно 5. Теперь найдем количество квадратов, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 40 - 6 \cdot 5 = 40 - 30 = 10$

Количество квадратов равно 10.

Поскольку мы получили целые положительные значения для $x$ и $y$, такой способ разложения фишек существует. При этом будут использованы все фишки:

Красные: $6 \cdot 5 + 1 \cdot 10 = 30 + 10 = 40$ (верно)

Синие: $1 \cdot 5 + 4 \cdot 10 = 5 + 40 = 45$ (верно)

Ответ: да, такой способ существует. Получится 5 шестиугольников и 10 квадратов.

4.88

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $m_1$ — масса конфет первого сорта (по 1100 р./кг) в одном килограмме ассорти, а $m_2$ — масса конфет второго сорта (по 1500 р./кг) в том же килограмме ассорти. Массы будем измерять в килограммах.

Поскольку мы рассматриваем 1 кг смеси, суммарная масса компонентов равна 1 кг. Это дает нам первое уравнение:

$m_1 + m_2 = 1$

Стоимость 1 кг ассорти составляет 1200 р. Эта стоимость складывается из стоимости каждого вида конфет в смеси. Стоимость $m_1$ кг первого сорта равна $1100 \cdot m_1$, а стоимость $m_2$ кг второго сорта — $1500 \cdot m_2$. Это дает нам второе уравнение:

$1100 \cdot m_1 + 1500 \cdot m_2 = 1200$

Имеем систему уравнений:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 1 \\ 1100m_1 + 1500m_2 = 1200 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $m_1$ через $m_2$:

$m_1 = 1 - m_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1100(1 - m_2) + 1500m_2 = 1200$

Решим полученное уравнение:

$1100 - 1100m_2 + 1500m_2 = 1200$

$400m_2 = 1200 - 1100$

$400m_2 = 100$

$m_2 = \frac{100}{400} = \frac{1}{4} = 0.25$ кг.

Теперь найдем $m_1$:

$m_1 = 1 - m_2 = 1 - 0.25 = 0.75$ кг.

По условию задачи, ответ нужно дать в граммах. Учитывая, что 1 кг = 1000 г, переведем полученные значения:

Масса конфет первого сорта: $m_1 = 0.75 \text{ кг} = 750$ г.

Масса конфет второго сорта: $m_2 = 0.25 \text{ кг} = 250$ г.

Ответ: в одном килограмме ассорти содержится 750 граммов конфет по 1100 р. за килограмм и 250 граммов конфет по 1500 р. за килограмм.