Номер 4.93, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.93, страница 196.

Условие.

4.93 Шесть станций на железнодорожной ветке расположены в следующем порядке: Абрамцево, Белово, Виноградово, Грибово, Дорохово, Ельники. Расстояние от первой до последней станции $70 \text{ км}$. Расстояние между Абрамцево и Белово в $2$ раза больше, чем между Белово и Виноградово; расстояние между Грибово и Дорохово в $1.5$ раза больше, чем между Белово и Виноградово, и на $2 \text{ км}$ меньше, чем между Виноградово и Грибово. Расстояние между Виноградово и Дорохово в $4$ раза больше, чем между Дорохово и Ельники. Чему равно расстояние от Абрамцево до Виноградово?

Решение 1.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение, исходя из условий.

Обозначим станции первыми буквами их названий: Абрамцево (А), Белово (Б), Виноградово (В), Грибово (Г), Дорохово (Д), Ельники (Е). Станции расположены последовательно в указанном порядке.

Пусть расстояние между станциями Белово и Виноградово равно $x$ км. То есть, $d(БВ) = x$.

Теперь выразим все остальные расстояния между соседними станциями через $x$, используя данные из условия:

1. Расстояние между Абрамцево и Белово ($d(АБ)$) в 2 раза больше, чем между Белово и Виноградово: $d(АБ) = 2 \cdot d(БВ) = 2x$.

2. Расстояние между Грибово и Дорохово ($d(ГД)$) в 1,5 раза больше, чем между Белово и Виноградово: $d(ГД) = 1.5 \cdot d(БВ) = 1.5x$.

3. Известно, что расстояние $d(ГД)$ на 2 км меньше, чем расстояние между Виноградово и Грибово ($d(ВГ)$). Отсюда можем найти $d(ВГ)$: $d(ВГ) = d(ГД) + 2 = 1.5x + 2$.

4. Расстояние между Виноградово и Дорохово ($d(ВД)$) в 4 раза больше, чем между Дорохово и Ельники ($d(ДЕ)$). Расстояние $d(ВД)$ состоит из двух участков: $d(ВГ)$ и $d(ГД)$.
$d(ВД) = d(ВГ) + d(ГД) = (1.5x + 2) + 1.5x = 3x + 2$.
Следовательно, расстояние $d(ДЕ)$ равно: $d(ДЕ) = \frac{d(ВД)}{4} = \frac{3x + 2}{4}$.

Общее расстояние от первой до последней станции (от Абрамцево до Ельников) составляет 70 км. Это расстояние равно сумме длин всех промежуточных участков:

$d(АЕ) = d(АБ) + d(БВ) + d(ВГ) + d(ГД) + d(ДЕ) = 70$

Подставим выражения для каждого участка в это уравнение:

$70 = 2x + x + (1.5x + 2) + 1.5x + \frac{3x + 2}{4}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала сгруппируем слагаемые:

$70 = (2x + x + 1.5x + 1.5x) + 2 + \frac{3x + 2}{4}$

$70 = 6x + 2 + \frac{3x + 2}{4}$

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$68 = 6x + \frac{3x + 2}{4}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 4:

$68 \cdot 4 = 4 \cdot (6x) + 4 \cdot \left(\frac{3x + 2}{4}\right)$

$272 = 24x + (3x + 2)$

$272 = 27x + 2$

$270 = 27x$

$x = \frac{270}{27} = 10$

Мы нашли, что расстояние между Белово и Виноградово равно 10 км.

Основной вопрос задачи — найти расстояние от Абрамцево до Виноградово. Это расстояние ($d(АВ)$) равно сумме расстояний $d(АБ)$ и $d(БВ)$:

$d(АВ) = d(АБ) + d(БВ) = 2x + x = 3x$

Подставим найденное значение $x=10$ в это выражение:

$d(АВ) = 3 \cdot 10 = 30$ км.

Ответ: 30 км.