Номер 2, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7. Задачи на координатной плоскости. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 2, страница 197.

Условие.

Разберите решение задачи 2.

1) В каком виде мы хотим записать искомое уравнение прямой?

2) Как на алгебраическом языке записывается утверждение: прямая проходит через точку $A(-1; 2)$; прямая проходит через точку $B(3; 4)$?

3) Решите составленную систему двух уравнений с переменными $k$ и $l$. Какой способ решения вы выбрали?

4) Выполните проверку: убедитесь, что точки $A(-1; 2)$ и $B(3; 4)$ принадлежат прямой, уравнение которой составлено.

Решение 3.

Решение 4.

1) В каком виде мы хотим записать искомое уравнение прямой?

Искомое уравнение прямой, которая является графиком линейной функции, мы хотим записать в виде уравнения с угловым коэффициентом: $y = kx + l$. В этом уравнении переменная $k$ представляет собой угловой коэффициент, определяющий наклон прямой, а $l$ — свободный член, который соответствует ординате точки пересечения прямой с осью $y$.

Ответ: $y = kx + l$.

2) Как на алгебраическом языке записывается утверждение: прямая проходит через точку А(-1; 2); прямая проходит через точку B(3; 4)?

Если прямая проходит через некоторую точку, это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой. Чтобы записать это утверждение на алгебраическом языке, нужно подставить координаты $x$ и $y$ каждой точки в общее уравнение прямой $y = kx + l$.
Для точки A(-1; 2) подставляем $x = -1$ и $y = 2$:
$2 = k \cdot (-1) + l$
$2 = -k + l$
Для точки B(3; 4) подставляем $x = 3$ и $y = 4$:
$4 = k \cdot 3 + l$
$4 = 3k + l$
Таким образом, мы получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $k$ и $l$.

Ответ: Утверждения записываются в виде системы уравнений: $\begin{cases} -k + l = 2 \\ 3k + l = 4 \end{cases}$.

3) Решите составленную систему двух уравнений с переменными k и l. Какой способ решения вы выбрали?

Для решения системы $\begin{cases} -k + l = 2 \\ 3k + l = 4 \end{cases}$ был выбран метод алгебраического вычитания, так как коэффициент при переменной $l$ в обоих уравнениях одинаков, что позволяет легко ее исключить.

Вычтем первое уравнение из второго:
$(3k + l) - (-k + l) = 4 - 2$
$3k + l + k - l = 2$
$4k = 2$
$k = \frac{2}{4} = 0.5$

Теперь подставим найденное значение $k=0.5$ в первое уравнение системы:
$-0.5 + l = 2$
$l = 2 + 0.5$
$l = 2.5$
Решением системы являются значения $k = 0.5$ и $l = 2.5$.

Ответ: $k = 0.5$, $l = 2.5$. Был выбран способ вычитания уравнений (метод алгебраического сложения).

4) Выполните проверку: убедитесь, что точки А(-1; 2) и B(3; 4) принадлежат прямой, уравнение которой составлено.

Мы составили уравнение прямой: $y = 0.5x + 2.5$.

Проверим точку А(-1; 2). Подставим ее координаты в уравнение:
$2 = 0.5 \cdot (-1) + 2.5$
$2 = -0.5 + 2.5$
$2 = 2$
Равенство верное, следовательно, точка А(-1; 2) принадлежит данной прямой.

Проверим точку B(3; 4). Подставим ее координаты в уравнение:
$4 = 0.5 \cdot 3 + 2.5$
$4 = 1.5 + 2.5$
$4 = 4$
Равенство верное, следовательно, точка B(3; 4) также принадлежит данной прямой.

Ответ: Проверка подтверждает, что точки A(-1; 2) и B(3; 4) принадлежат прямой, заданной уравнением $y = 0.5x + 2.5$.