Номер 4.85, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.85, страница 194.

Условие.

4.85 a) Периметр прямоугольника 28 см, а его диагональ равна 10 см. Найдите стороны прямоугольника.

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его периметр равен 30 см. Найдите катеты треугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию задачи, периметр равен 28 см.

Составим первое уравнение:

$2(a + b) = 28$

$a + b = 14$

Диагональ прямоугольника $d$ делит его на два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора, сумма квадратов сторон равна квадрату диагонали: $a^2 + b^2 = d^2$. По условию, диагональ равна 10 см.

Составим второе уравнение:

$a^2 + b^2 = 10^2$

$a^2 + b^2 = 100$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, $b = 14 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (14 - a)^2 = 100$

Раскроем скобки:

$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть:

$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$

$2a^2 - 28a + 96 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$a^2 - 14a + 48 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 14, а их произведение равно 48. Этим условиям удовлетворяют числа 6 и 8.

Значит, $a_1 = 6$ и $a_2 = 8$.

Если $a = 6$ см, то $b = 14 - 6 = 8$ см.

Если $a = 8$ см, то $b = 14 - 8 = 6$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.

б) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию задачи, гипотенуза $c = 13$ см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$. По условию, периметр равен 30 см.

Составим первое уравнение:

$a + b + 13 = 30$

$a + b = 30 - 13$

$a + b = 17$

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Составим второе уравнение:

$a^2 + b^2 = 13^2$

$a^2 + b^2 = 169$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 17 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 17 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (17 - a)^2 = 169$

Раскроем скобки:

$a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть:

$2a^2 - 34a + 289 - 169 = 0$

$2a^2 - 34a + 120 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$a^2 - 17a + 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а произведение равно 60. Этим числам соответствуют 5 и 12.

Значит, $a_1 = 5$ и $a_2 = 12$.

Если катет $a = 5$ см, то второй катет $b = 17 - 5 = 12$ см.

Если катет $a = 12$ см, то второй катет $b = 17 - 12 = 5$ см.

Таким образом, катеты треугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: 5 см и 12 см.