Номер 4.82, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.82, страница 193.

Условие.

4.82 Какая из следующих ситуаций возможна, а какая невозможна?

а) Для двух классов купили одинаковые тетради и шариковые ручки. За 60 тетрадей и 20 ручек для одного класса заплатили 4200 р., а за 75 тетрадей и 25 ручек для другого класса заплатили 6000 р.

б) В школе 650 учащихся. К концу года число девочек увеличилось на 10%, а число мальчиков — на 20%, и всего стало 750 учащихся.

Решение 1.

Решение 4.

а) Чтобы определить, возможна ли данная ситуация, составим систему уравнений. Пусть $x$ — цена одной тетради, а $y$ — цена одной шариковой ручки. Так как тетради и ручки одинаковые, их цена в обоих случаях неизменна.

Согласно условию, для первого класса купили 60 тетрадей и 20 ручек за 4200 рублей. Это можно записать в виде уравнения:

$60x + 20y = 4200$

Для второго класса купили 75 тетрадей и 25 ручек за 6000 рублей. Это дает нам второе уравнение:

$75x + 25y = 6000$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 60x + 20y = 4200 \\ 75x + 25y = 6000 \end{cases}$

Упростим каждое уравнение. Первое уравнение можно разделить на 20, а второе — на 25.

1. $60x + 20y = 4200 \implies \frac{60x}{20} + \frac{20y}{20} = \frac{4200}{20} \implies 3x + y = 210$

2. $75x + 25y = 6000 \implies \frac{75x}{25} + \frac{25y}{25} = \frac{6000}{25} \implies 3x + y = 240$

Получаем систему:

$\begin{cases} 3x + y = 210 \\ 3x + y = 240 \end{cases}$

Из этой системы следует, что $210 = 240$, что является ложным утверждением. Это означает, что система уравнений не имеет решения. Следовательно, описанная ситуация невозможна, так как стоимость одного и того же набора (3 тетради и 1 ручка) не может быть разной.

Ответ: ситуация невозможна.

б) Проверим, возможна ли вторая ситуация. Пусть в начале года в школе было $g$ девочек и $b$ мальчиков. Общее число учащихся было 650.

Составим первое уравнение:

$g + b = 650$

К концу года число девочек увеличилось на 10%, то есть их стало $g + 0.1g = 1.1g$.

Число мальчиков увеличилось на 20%, то есть их стало $b + 0.2b = 1.2b$.

Общее число учащихся стало 750. Составим второе уравнение:

$1.1g + 1.2b = 750$

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} g + b = 650 \\ 1.1g + 1.2b = 750 \end{cases}$

Для решения системы выразим $g$ из первого уравнения: $g = 650 - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.1(650 - b) + 1.2b = 750$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $b$:

$715 - 1.1b + 1.2b = 750$

$0.1b = 750 - 715$

$0.1b = 35$

$b = \frac{35}{0.1} = 350$

Итак, изначально в школе было 350 мальчиков. Теперь найдем количество девочек:

$g = 650 - b = 650 - 350 = 300$

Мы получили, что в начале года в школе было 300 девочек и 350 мальчиков. Оба числа являются целыми и положительными, что является необходимым условием, так как речь идет о количестве людей. Проверим, приводят ли эти исходные данные к конечному результату, указанному в задаче.

Новое количество девочек: $300 \cdot 1.1 = 330$.

Новое количество мальчиков: $350 \cdot 1.2 = 420$.

Общее количество учащихся в конце года: $330 + 420 = 750$.

Это соответствует условию задачи. Следовательно, такая ситуация возможна.

Ответ: ситуация возможна.