Номер 4.70, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.70, страница 189.

Условие.

4.70 Пересекаются ли парабола и прямая? Если да, укажите координаты точек пересечения:

а) $y = x^2$ и $x + y = 2$;

б) $y = x^2$ и $x - y = 1$;

в) $y + x^2 = 0$ и $y = -2x - 3$;

г) $y - x^2 = 0$ и $y = -x - 5$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Даны парабола $y = x^2$ и прямая $x + y = 2$. Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему этих уравнений. Выразим $y$ из уравнения прямой: $y = 2 - x$. Подставим это выражение в уравнение параболы: $x^2 = 2 - x$. Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения: $x^2 + x - 2 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$. Поскольку $D > 0$, у уравнения есть два действительных корня, что означает, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Найдем $x$-координаты этих точек: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$. Теперь найдем соответствующие $y$-координаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = 2 - x$: для $x_1 = 1$, $y_1 = 2 - 1 = 1$; для $x_2 = -2$, $y_2 = 2 - (-2) = 4$.
Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(1, 1)$ и $(-2, 4)$.

б) Даны парабола $y = x^2$ и прямая $x - y = 1$. Выразим $y$ из уравнения прямой: $y = x - 1$. Подставим в уравнение параболы: $x^2 = x - 1$. Получим квадратное уравнение: $x^2 - x + 1 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола и прямая не пересекаются.
Ответ: Нет, не пересекаются.

в) Даны парабола $y + x^2 = 0$ и прямая $y = -2x - 3$. Из уравнения параболы имеем $y = -x^2$. Приравняем выражения для $y$: $-x^2 = -2x - 3$. Получим квадратное уравнение: $x^2 - 2x - 3 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$. Поскольку $D > 0$, существует две точки пересечения. Найдем $x$-координаты: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$. Теперь найдем соответствующие $y$-координаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = -x^2$: для $x_1 = 3$, $y_1 = -(3^2) = -9$; для $x_2 = -1$, $y_2 = -(-1)^2 = -1$.
Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(3, -9)$ и $(-1, -1)$.

г) Даны парабола $y - x^2 = 0$ и прямая $y = -x - 5$. Из уравнения параболы имеем $y = x^2$. Приравняем выражения для $y$: $x^2 = -x - 5$. Получим квадратное уравнение: $x^2 + x + 5 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$. Поскольку $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, следовательно, парабола и прямая не пересекаются.
Ответ: Нет, не пересекаются.