Номер 3, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 188.

Условие.

В системе двух уравнений с двумя переменными одно уравнение линейное, а другое – уравнение окружности с центром в начале координат. Сколько решений может иметь такая система? Проиллюстрируйте свои рассуждения рисунками.

Решение 3.

Решение 4.

Решение системы двух уравнений с двумя переменными, где одно уравнение линейное, а другое — уравнение окружности, геометрически сводится к нахождению точек пересечения прямой и окружности на координатной плоскости. Количество таких точек пересечения и будет количеством решений системы.

Система имеет следующий общий вид: $ \begin{cases} ax + by + c = 0 & \text{(график - прямая)} \\ x^2 + y^2 = R^2 & \text{(график - окружность с центром в (0,0) и радиусом } R) \end{cases} $

В зависимости от взаимного расположения прямой и окружности возможны три различных случая.

Случай 1: Система не имеет решений

Это происходит, когда прямая и окружность не имеют общих точек. Геометрически это означает, что расстояние от центра окружности (начала координат) до прямой больше, чем радиус окружности ($d > R$).

В этом случае система не имеет вещественных решений.

Ответ: 0 решений.

Случай 2: Система имеет одно решение

Это происходит, когда прямая касается окружности. У них есть ровно одна общая точка — точка касания. Геометрически это означает, что расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ($d = R$).

В этом случае система имеет единственное решение.

Ответ: 1 решение.

Случай 3: Система имеет два решения

Это происходит, когда прямая пересекает окружность в двух различных точках (прямая является секущей). Геометрически это означает, что расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности ($d < R$).

В этом случае система имеет два различных решения.

Ответ: 2 решения.

Таким образом, в зависимости от взаимного расположения прямой и окружности, данная система может иметь ноль, одно или два решения.