Номер 4.65, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.65, страница 185.

Условие.

4.65 ИССЛЕДУЕМ 1) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются совпадающие прямые:

а) $ \begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50. \end{cases} $

Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений.

2) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются параллельные прямые:

а) $ \begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9. \end{cases} $

Сравните в каждой системе отношение коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система не имеет решений.

3) Дано уравнение $5x + y = 8$. Составьте ещё одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:

а) имеющую бесконечно много решений;

б) не имеющую решений.

4) Существует ли такое значение a, при котором система уравнений

$ \begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases} $

имеет бесконечно много решений; не имеет решений? Если существует, то укажите его.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Для того чтобы убедиться, что графической моделью системы является пара совпадающих прямых, можно показать, что одно уравнение системы является следствием другого (например, получается умножением на число). Это означает, что уравнения эквивалентны и описывают одну и ту же прямую.

а) Рассматриваем систему $\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25 \end{cases}$.
Разделим обе части первого уравнения на 2, получим: $x + 4y = 5$.
Разделим обе части второго уравнения на 5, получим: $x + 4y = 5$.
Поскольку мы получили два одинаковых уравнения, их графики совпадают. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}$; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$; $\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.

б) Рассматриваем систему $\begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50 \end{cases}$.
Разделим обе части первого уравнения на 4, получим: $x - 3y = 10$.
Разделим обе части второго уравнения на 5, получим: $x - 3y = 10$.
Уравнения снова идентичны, следовательно, их графики — совпадающие прямые. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{5}$; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-12}{-15} = \frac{4}{5}$; $\frac{c_1}{c_2} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$.

Во всех случаях мы видим, что отношения соответствующих коэффициентов равны.
Признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений:
Для системы уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$, если отношения соответствующих коэффициентов равны, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, то система имеет бесконечно много решений, а ее графики являются совпадающими прямыми.
Ответ: В обеих системах уравнения пропорциональны, поэтому их графики совпадают, и системы имеют бесконечно много решений. Признак наличия бесконечного множества решений: отношения коэффициентов при $x$, при $y$ и свободных членов равны.

2)

Чтобы убедиться, что графической моделью системы являются параллельные прямые, нужно показать, что прямые имеют одинаковый угловой коэффициент ($k$), но разные точки пересечения с осью ординат ($b$), приведя уравнения к виду $y = kx + b$.

а) Для системы $\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2 \end{cases}$ выразим $y$ из каждого уравнения.
Первое уравнение: $6y = -3x - 3 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Здесь $k_1 = -\frac{1}{2}$, $b_1 = -\frac{1}{2}$.
Второе уравнение: $8y = -4x + 2 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$. Здесь $k_2 = -\frac{1}{2}$, $b_2 = \frac{1}{4}$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, графики уравнений — параллельные прямые. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{4}$; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$; $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{2}$.

б) Для системы $\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9 \end{cases}$ выразим $y$ из каждого уравнения.
Первое уравнение: $2y = -6x + 1 \Rightarrow y = -3x + \frac{1}{2}$. Здесь $k_1 = -3$, $b_1 = \frac{1}{2}$.
Второе уравнение: $3y = -9x + 9 \Rightarrow y = -3x + 3$. Здесь $k_2 = -3$, $b_2 = 3$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, графики уравнений — параллельные прямые. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{3}$; $\frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{9}$.

Во всех случаях мы видим, что отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов.
Признак, по которому можно определить, что система не имеет решений:
Для системы уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$, если отношения коэффициентов при переменных пропорциональны, а свободные члены этой пропорции не удовлетворяют, то есть выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, то система не имеет решений, а ее графики являются параллельными прямыми.
Ответ: В обеих системах угловые коэффициенты прямых равны, а точки пересечения с осью y различны, поэтому графики параллельны, и системы не имеют решений. Признак отсутствия решений: отношения коэффициентов при $x$ и при $y$ равны, но не равны отношению свободных членов.

3) Дано уравнение $5x + y = 8$.

а) Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть эквивалентно первому. Для этого умножим обе части исходного уравнения на любое ненулевое число, например, на 3.
$3 \cdot (5x + y) = 3 \cdot 8 \Rightarrow 15x + 3y = 24$.
Система $\begin{cases} 5x + y = 8 \\ 15x + 3y = 24 \end{cases}$ будет иметь бесконечно много решений.
Ответ: Например, уравнение $15x + 3y = 24$.

б) Чтобы система не имела решений, коэффициенты при $x$ и $y$ во втором уравнении должны быть пропорциональны коэффициентам первого, но отношение свободных членов должно отличаться. Умножим левую часть уравнения на 3, а правый свободный член выберем так, чтобы он не был равен $8 \cdot 3 = 24$. Например, пусть он равен 1.
Получаем второе уравнение: $15x + 3y = 1$.
Система $\begin{cases} 5x + y = 8 \\ 15x + 3y = 1 \end{cases}$ не будет иметь решений.
Ответ: Например, уравнение $15x + 3y = 1$.

4) Рассматривается система уравнений $\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$.
Для анализа используем отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{a}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{1}=3$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{18}=\frac{1}{3}$.

Система имеет бесконечно много решений, если выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
В нашем случае это означало бы, что $\frac{a}{2} = 3 = \frac{1}{3}$. Равенство $3 = \frac{1}{3}$ является ложным, поэтому такое условие не может быть выполнено ни при каком значении $a$. Следовательно, система не может иметь бесконечно много решений.

Система не имеет решений, если выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
Неравенство $\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ выполняется, так как $3 \neq \frac{1}{3}$.
Теперь найдем значение $a$, при котором выполняется равенство $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$:
$\frac{a}{2} = 3 \Rightarrow a = 6$.
Таким образом, при $a=6$ система не имеет решений.

Ответ: Система не может иметь бесконечно много решений ни при каком значении $a$. Система не имеет решений при $a=6$.