Номер 4.47, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Уравнение прямой вида у = kx + l. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.47, страница 178.

Условие.

4.47 а) Парусная лодка в некоторый момент времени находится в 20 км от наблюдателя и движется в направлении к нему со скоростью 9 км/ч.

1) Обозначьте расстояние между лодкой и наблюдателем (в километрах) буквой $y$, а время движения лодки (в часах) буквой $x$ и составьте уравнение, связывающее $y$ и $x$. Определите значение $y$ при $x = 2$, $x = -1$, $x = 3$. Прокомментируйте в соответствии с условием задачи каждый ответ.

2) Постройте график уравнения.

б) После сильных дождей вода в реке поднялась над обычным уровнем на 1,5 м. Через некоторое время уровень начал снижаться в среднем на 20 см в час.

1) Обозначьте высоту воды над обычным уровнем (в метрах) буквой $y$, а время снижения уровня воды (в часах) буквой $x$ и составьте уравнение, связывающее $y$ и $x$. Определите, на какой высоте над обычным уровнем окажется вода через 4 ч после начала снижения; через какое время вода достигнет обычного уровня.

2) Постройте график уравнения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

1)

Пусть $y$ — расстояние между лодкой и наблюдателем в километрах, а $x$ — время движения лодки в часах. В начальный момент времени ($x=0$) расстояние составляет 20 км. Лодка движется к наблюдателю со скоростью 9 км/ч, поэтому расстояние между ними уменьшается. За время $x$ часов лодка пройдет расстояние, равное $9x$ км. Таким образом, расстояние $y$ через $x$ часов будет равно начальному расстоянию минус пройденный путь. Уравнение, связывающее $y$ и $x$: $y = 20 - 9x$.

Теперь определим значение $y$ при заданных значениях $x$:

При $x = 2$:
$y = 20 - 9 \cdot 2 = 20 - 18 = 2$ км.
Комментарий: Через 2 часа после начала движения расстояние между лодкой и наблюдателем составит 2 км.

При $x = -1$:
$y = 20 - 9 \cdot (-1) = 20 + 9 = 29$ км.
Комментарий: Значение $x = -1$ означает время за 1 час до начального момента. В этот момент лодка находилась дальше от наблюдателя, на расстоянии 29 км.

При $x = 3$:
$y = 20 - 9 \cdot 3 = 20 - 27 = -7$ км.
Комментарий: Лодка достигнет наблюдателя, когда $y = 0$, то есть при $20 - 9x = 0$, откуда $x = 20/9 \approx 2.22$ часа. Так как 3 часа больше, чем 2.22 часа, это означает, что лодка уже миновала наблюдателя. Отрицательное значение $y = -7$ показывает, что лодка удалилась от наблюдателя на 7 км в противоположном направлении.

Ответ: Уравнение: $y = 20 - 9x$. При $x=2$ $y=2$ км; при $x=-1$ $y=29$ км; при $x=3$ $y=-7$ км.

2)

Уравнение $y = 20 - 9x$ является линейной функцией, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем точки, рассчитанные ранее:

• При $x = 0$, $y = 20$. Точка (0; 20).
• При $x = 20/9 \approx 2.22$, $y = 0$. Точка (20/9; 0).

График функции $y = 20 - 9x$:

Ответ: График уравнения — это прямая линия, проходящая через точки (0; 20) и (20/9; 0).

---

б)

1)

Пусть $y$ — высота воды над обычным уровнем в метрах, а $x$ — время снижения уровня воды в часах. В начальный момент времени ($x=0$) высота воды над обычным уровнем составляет 1,5 м. Скорость снижения уровня воды — 20 см в час. Переведем эту величину в метры в час, чтобы единицы измерения были одинаковыми: $20 \text{ см/ч} = 0,2 \text{ м/ч}$.

За время $x$ часов уровень воды снизится на $0,2x$ метров. Высота $y$ через $x$ часов будет равна начальной высоте минус величина снижения. Уравнение, связывающее $y$ и $x$: $y = 1,5 - 0,2x$.

Определим, на какой высоте окажется вода через 4 часа после начала снижения ($x=4$):
$y = 1,5 - 0,2 \cdot 4 = 1,5 - 0,8 = 0,7$ м.

Определим, через какое время вода достигнет обычного уровня. Это произойдет, когда высота над обычным уровнем станет равна нулю, то есть $y=0$:
$0 = 1,5 - 0,2x$
$0,2x = 1,5$
$x = \frac{1,5}{0,2} = \frac{15}{2} = 7,5$ часов.

Ответ: Уравнение: $y = 1,5 - 0,2x$. Через 4 часа вода окажется на высоте 0,7 м над обычным уровнем. Вода достигнет обычного уровня через 7,5 часов.

2)

Уравнение $y = 1,5 - 0,2x$ является линейной функцией. В контексте задачи время $x$ и высота $y$ не могут быть отрицательными, поэтому $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Графиком будет отрезок прямой. Найдем координаты концов отрезка:

• Начальная точка (при $x = 0$): $y = 1,5$. Точка (0; 1,5).
• Конечная точка (при $y = 0$): $x = 7,5$. Точка (7,5; 0).

График функции $y = 1,5 - 0,2x$ (для $x \ge 0, y \ge 0$):

Ответ: График уравнения — это отрезок прямой, соединяющий точки (0; 1,5) и (7,5; 0).