Номер 9, страница 204 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 4. Системы уравнений - номер 9, страница 204.

Условие.

9 На примере системы уравнений $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases}$ расскажите, как решают систему методом сложения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Метод сложения для решения системы уравнений заключается в том, чтобы преобразовать уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Затем уравнения складываются, что приводит к исключению этой переменной и получению простого уравнения с одной неизвестной. Рассмотрим этот метод на примере данной системы:

$$\begin{cases}2x - y = 3 \\7x + 2y = 16\end{cases}$$

Шаг 1: Преобразование уравнений

Наша цель — получить противоположные коэффициенты при одной из переменных. В данной системе у переменной $y$ коэффициенты $-1$ и $2$. Если мы умножим первое уравнение на $2$, то коэффициент при $y$ станет $-2$, что является противоположным числу $2$ во втором уравшении.

Умножим каждый член первого уравнения на $2$:

$2 \cdot (2x - y) = 2 \cdot 3$

$4x - 2y = 6$

Теперь система имеет вид:

$$\begin{cases}4x - 2y = 6 \\7x + 2y = 16\end{cases}$$

Шаг 2: Сложение уравнений и нахождение первой переменной

Теперь сложим левые и правые части уравнений почленно. Это позволит нам исключить переменную $y$, так как $-2y + 2y = 0$.

$(4x - 2y) + (7x + 2y) = 6 + 16$

$4x + 7x = 22$

$11x = 22$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{22}{11}$

$x = 2$

Шаг 3: Нахождение второй переменной

Мы нашли значение $x$. Чтобы найти $y$, подставим $x=2$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое: $2x - y = 3$.

$2(2) - y = 3$

$4 - y = 3$

$-y = 3 - 4$

$-y = -1$

$y = 1$

Таким образом, решение системы — это пара чисел $(2; 1)$.

Шаг 4: Проверка

Для уверенности подставим найденные значения $x=2$ и $y=1$ во второе исходное уравнение $7x + 2y = 16$:

$7(2) + 2(1) = 16$

$14 + 2 = 16$

$16 = 16$

Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(2; 1)$