Номер 10, страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 4. Системы уравнений - номер 10, страница 205.

Условие.

10 Три карандаша и пять авторучек вместе стоят 280 р., а шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 210 р. Сколько стоит карандаш и авторучка в отдельности?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это стоимость одного карандаша в рублях, а $y$ — стоимость одной авторучки в рублях.

Согласно условию, три карандаша и пять авторучек вместе стоят 280 рублей. Это можно записать в виде уравнения:

$3x + 5y = 280$

Также известно, что шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 210 рублей. Это дает нам второе уравнение:

$6x + 3y = 210$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 280 \\ 6x + 3y = 210 \end{cases} $

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ в обоих уравнениях совпали:

$2 \cdot (3x + 5y) = 2 \cdot 280$

$6x + 10y = 560$

Теперь система выглядит следующим образом:

$ \begin{cases} 6x + 10y = 560 \\ 6x + 3y = 210 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $x$:

$(6x + 10y) - (6x + 3y) = 560 - 210$

$7y = 350$

Отсюда находим значение $y$:

$y = \frac{350}{7} = 50$

Стоимость одной авторучки равна 50 рублям. Теперь подставим найденное значение $y$ в любое из первоначальных уравнений, чтобы найти $x$. Используем первое уравнение:

$3x + 5 \cdot 50 = 280$

$3x + 250 = 280$

$3x = 280 - 250$

$3x = 30$

$x = \frac{30}{3} = 10$

Стоимость одного карандаша равна 10 рублям.

Для проверки подставим найденные значения $x=10$ и $y=50$ во второе исходное уравнение:

$6 \cdot 10 + 3 \cdot 50 = 60 + 150 = 210$

Равенство $210 = 210$ выполняется, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: карандаш стоит 10 рублей, авторучка стоит 50 рублей.