Номер 13, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 4. Системы уравнений - номер 13, страница 207.

Условие.

13 Решите систему уравнений

$\begin{cases} 2x - 3y = 3 \\ \frac{2x}{3} + y = \frac{1}{3} \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases} 2x - 3y = 3 \\ \frac{2x}{3} + y = \frac{1}{3}\end{cases}$$

Для решения системы удобно сначала избавиться от дроби во втором уравнении. Для этого умножим обе части второго уравнения на 3:

$$ 3 \cdot \left(\frac{2x}{3} + y\right) = 3 \cdot \frac{1}{3} $$

Выполнив умножение, получаем эквивалентное уравнение:

$$ 2x + 3y = 1 $$

Теперь система уравнений имеет следующий вид:

$$\begin{cases} 2x - 3y = 3 \\ 2x + 3y = 1\end{cases}$$

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений. Заметим, что члены с переменной $y$ взаимно уничтожатся, так как их коэффициенты являются противоположными числами ($-3$ и $3$).

$$ (2x - 3y) + (2x + 3y) = 3 + 1 $$$$ 4x = 4 $$

Отсюда находим значение переменной $x$:

$$ x = \frac{4}{4} $$$$ x = 1 $$

Теперь подставим найденное значение $x = 1$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $y$. Удобнее подставить в преобразованное второе уравнение $2x + 3y = 1$:

$$ 2(1) + 3y = 1 $$$$ 2 + 3y = 1 $$

Перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак:

$$ 3y = 1 - 2 $$$$ 3y = -1 $$

Находим значение переменной $y$:

$$ y = -\frac{1}{3} $$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; -\frac{1}{3})$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x=1$ и $y=-\frac{1}{3}$ в исходные уравнения:

1) Для первого уравнения $2x - 3y = 3$:

$$ 2(1) - 3\left(-\frac{1}{3}\right) = 2 + 1 = 3 $$

$3 = 3$. Равенство верное.

2) Для второго уравнения $\frac{2x}{3} + y = \frac{1}{3}$:

$$ \frac{2(1)}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $$

$\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Равенство верное.

Так как оба равенства верны, решение найдено правильно.

Ответ: $(1; -\frac{1}{3})$.