Номер 5.1, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.1. Чтение графиков. Глава 5. Функции - номер 5.1, страница 212.

Условие.

5.1 На рисунке 5.5 изображён график температуры воздуха в городе Весеннем 25 февраля 2012 г. По графику определите:

а) какая температура была в 6 ч; в 11 ч; в 18 ч;

б) в какое время дня температура была $-3\;^\circ C$; $2\;^\circ C$; $4\;^\circ C$;

в) в какое время суток температура была выше $0\;^\circ C$; ниже $0\;^\circ C$;

г) в какое время суток температура повышалась; понижалась; оставалась постоянной;

д) в какое время суток температура была максимальной и в какое время — минимальной;

е) какова была максимальная температура за сутки; минимальная температура за сутки;

ж) в какое время суток температура повышалась с наибольшей скоростью; понижалась с наибольшей скоростью;

з) какова была средняя скорость изменения температуры с 8 до 10 ч; с 0 до 4 ч.

$T, ^\circ C$

$t$, ч

Рис. 5.5

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) какая температура была в 6 ч; в 11 ч; в 18 ч?

Для определения температуры в заданное время находим на горизонтальной оси времени ($t$, ч) нужную отметку и проводим вертикальную линию до пересечения с графиком. От точки пересечения проводим горизонтальную линию до вертикальной оси температуры ($T$, °C) и считываем значение.
• В 6 ч: на оси времени $t=6$ ч соответствующая точка на графике имеет температуру $-6$ °C.
• В 11 ч: на оси времени $t=11$ ч соответствующая точка на графике имеет температуру $-1$ °C.
• В 18 ч: на оси времени $t=18$ ч соответствующая точка на графике имеет температуру $-1$ °C.
Ответ: В 6 ч температура была $-6$ °C; в 11 ч — $-1$ °C; в 18 ч — $-1$ °C.

б) в какое время дня температура была –3 °С; 2 °С; 4 °С?

Для определения времени по заданному значению температуры находим на вертикальной оси температуры ($T$, °C) нужную отметку и проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. От точек пересечения проводим вертикальные линии до горизонтальной оси времени ($t$, ч) и считываем значения.
• Температура $-3$ °С наблюдалась в моменты времени $t=10$ ч и $t=20$ ч.
• Температура $2$ °С наблюдалась в моменты времени $t=12$ ч и $t=16$ ч.
• Температура $4$ °С наблюдалась в момент времени $t=14$ ч.
Ответ: Температура была $-3$ °С в 10 ч и в 20 ч; $2$ °С — в 12 ч и в 16 ч; $4$ °С — в 14 ч.

в) в какое время суток температура была выше 0 °С; ниже 0 °С?

Температура выше 0 °С, когда график находится выше оси времени ($T > 0$), и ниже 0 °С, когда график находится ниже этой оси ($T < 0$). Найдем точные моменты пересечения оси $T=0$.
• На участке от $t=11$ ч ($T=-1$ °C) до $t=12$ ч ($T=2$ °C) температура изменяется линейно. Момент времени $t_1$, когда $T=0$, находится из пропорции $\frac{t_1 - 11}{12-11} = \frac{0 - (-1)}{2 - (-1)}$, что дает $t_1 - 11 = \frac{1}{3}$. Отсюда $t_1 = 11 \frac{1}{3}$ ч, или 11 ч 20 мин.
• На участке от $t=17$ ч ($T=1$ °C) до $t=18$ ч ($T=-1$ °C) температура также изменяется линейно. Момент времени $t_2$, когда $T=0$, находится из пропорции $\frac{t_2 - 17}{18-17} = \frac{0 - 1}{-1 - 1}$, что дает $t_2 - 17 = \frac{1}{2}$. Отсюда $t_2 = 17.5$ ч, или 17 ч 30 мин.
• Таким образом, температура была выше 0 °С в интервале времени от 11 ч 20 мин до 17 ч 30 мин.
• Температура была ниже 0 °С в интервалах времени с 0 ч до 11 ч 20 мин и с 17 ч 30 мин до 24 ч.
Ответ: Температура была выше 0 °С в интервале времени от 11 ч 20 мин до 17 ч 30 мин; ниже 0 °С — в интервалах с 0 ч до 11 ч 20 мин и с 17 ч 30 мин до 24 ч.

г) в какое время суток температура повышалась; понижалась; оставалась постоянной?

Анализируем наклон графика на разных участках:
• Повышалась (график идет вверх): с 8 ч до 14 ч.
• Понижалась (график идет вниз): с 0 ч до 4 ч и с 14 ч до 22 ч.
• Оставалась постоянной (график — горизонтальная линия): с 4 ч до 8 ч и с 22 ч до 24 ч.
Ответ: Температура повышалась с 8 ч до 14 ч; понижалась с 0 ч до 4 ч и с 14 ч до 22 ч; оставалась постоянной с 4 ч до 8 ч и с 22 ч до 24 ч.

д) в какое время суток температура была максимальной и в какое время — минимальной?

Находим самую высокую и самую низкую точки на графике.
• Максимальная температура: Самая высокая точка графика (вершина) соответствует времени $t = 14$ ч.
• Минимальная температура: Самая низкая точка графика — это горизонтальный участок, который длится с $t=4$ ч до $t=8$ ч.
Ответ: Максимальная температура была в 14 ч, а минимальная — в период с 4 ч до 8 ч.

е) какова была максимальная температура за сутки; минимальная температура за сутки?

Находим значения температуры в точках максимума и минимума.
• Максимальная температура (значение в самой высокой точке): $T_{max} = 4$ °C.
• Минимальная температура (значение на самом низком участке): $T_{min} = -6$ °C.
Ответ: Максимальная температура за сутки была $4$ °C, минимальная — $-6$ °C.

ж) в какое время суток температура повышалась с наибольшей скоростью; понижалась с наибольшей скоростью?

Скорость изменения температуры — это наклон графика, который вычисляется по формуле $v = \frac{\Delta T}{\Delta t}$. Необходимо найти самый крутой участок подъема (наибольший положительный наклон) и самый крутой участок спуска (наибольший по модулю отрицательный наклон).
• Повышение температуры (с 8 ч до 14 ч):
с 8 до 10 ч: $v = \frac{-3 - (-6)}{10 - 8} = 1.5$ °C/ч.
с 10 до 11 ч: $v = \frac{-1 - (-3)}{11 - 10} = 2$ °C/ч.
с 11 до 12 ч: $v = \frac{2 - (-1)}{12 - 11} = 3$ °C/ч.
с 12 до 14 ч: $v = \frac{4 - 2}{14 - 12} = 1$ °C/ч.
Наибольшая скорость повышения — $3$ °C/ч в интервале с 11 ч до 12 ч.
• Понижение температуры (с 0 ч до 4 ч и с 14 ч до 22 ч):
с 0 до 4 ч: $v = \frac{-6 - (-4)}{4 - 0} = -0.5$ °C/ч.
с 14 до 16 ч: $v = \frac{2 - 4}{16 - 14} = -1$ °C/ч.
с 16 до 17 ч: $v = \frac{1 - 2}{17 - 16} = -1$ °C/ч.
с 17 до 18 ч: $v = \frac{-1 - 1}{18 - 17} = -2$ °C/ч.
с 18 до 20 ч: $v = \frac{-3 - (-1)}{20 - 18} = -1$ °C/ч.
с 20 до 22 ч: $v = \frac{-4 - (-3)}{22 - 20} = -0.5$ °C/ч.
Наибольшая скорость понижения (наибольшая по модулю) — $-2$ °C/ч в интервале с 17 ч до 18 ч.
Ответ: Температура повышалась с наибольшей скоростью ($3$ °C/ч) в интервале с 11 ч до 12 ч. Температура понижалась с наибольшей скоростью ($-2$ °C/ч) в интервале с 17 ч до 18 ч.

з) какова была средняя скорость изменения температуры с 8 до 10 ч; с 0 до 4 ч?

Средняя скорость изменения температуры на интервале времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{T_2 - T_1}{t_2 - t_1}$.
• С 8 до 10 ч:
$t_1 = 8$ ч, $T_1 = -6$ °C; $t_2 = 10$ ч, $T_2 = -3$ °C.
$v_{ср} = \frac{-3 - (-6)}{10 - 8} = \frac{3}{2} = 1.5$ °C/ч.
• С 0 до 4 ч:
$t_1 = 0$ ч, $T_1 = -4$ °C; $t_2 = 4$ ч, $T_2 = -6$ °C.
$v_{ср} = \frac{-6 - (-4)}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -0.5$ °C/ч.
Ответ: Средняя скорость изменения температуры с 8 до 10 ч составила $1.5$ °C/ч, а с 0 до 4 ч — $-0.5$ °C/ч.