Номер 14, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 4. Системы уравнений - номер 14, страница 207.

Условие.

14 В питомнике одинаковыми рядами высадили 90 ёлок. Оказалось, что число рядов на 1 меньше числа ёлок в каждом ряду. Сколько рядов и сколько ёлок в каждом ряду?

Пусть $x$ — число рядов, а $y$ — число ёлок в каждом ряду. Какая система уравнений соответствует условию задачи?

1) $ \begin{cases} xy = 90 \\ y = x - 1 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} xy = 90 \\ y - x = 1 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} xy = 90 \\ x - y = 1 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2(x + y) = 90 \\ y - x = 1 \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Сколько рядов и сколько ёлок в каждом ряду?

Для решения задачи введём переменные. Пусть $x$ — это число рядов, а $y$ — это число ёлок в каждом ряду. Исходя из условия, можно составить систему уравнений.

Первое уравнение следует из того, что всего было высажено 90 ёлок. Общее количество ёлок равно произведению числа рядов на число ёлок в каждом ряду:$x \cdot y = 90$

Второе уравнение следует из того, что число рядов на 1 меньше числа ёлок в каждом ряду:$x = y - 1$

Получаем систему уравнений:$\begin{cases}xy = 90 \\x = y - 1\end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:$(y - 1)y = 90$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:$y^2 - y = 90$$y^2 - y - 90 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=-1$, $c=-90$.$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их:$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Так как $y$ — это количество ёлок в ряду, это значение не может быть отрицательным. Поэтому нам подходит только корень $y = 10$.

Теперь найдём соответствующее значение $x$ (число рядов), подставив $y = 10$ во второе уравнение системы $x = y - 1$:$x = 10 - 1 = 9$

Проверим решение: $9 \cdot 10 = 90$ ёлок всего, и число рядов (9) действительно на 1 меньше числа ёлок в ряду (10).

Ответ: 9 рядов и 10 ёлок в каждом ряду.

---

Какая система уравнений соответствует условию задачи?

Проанализируем условие задачи и сопоставим его с предложенными вариантами, где $x$ — число рядов, а $y$ — число ёлок в каждом ряду.

1. "В питомнике одинаковыми рядами высадили 90 ёлок". Это условие означает, что общее число ёлок, равное произведению числа рядов на число ёлок в ряду, составляет 90. Математическая запись этого условия: $xy = 90$.

2. "число рядов на 1 меньше числа ёлок в каждом ряду". Это означает, что значение $x$ на единицу меньше значения $y$. Математическая запись: $x = y - 1$. Это уравнение можно преобразовать, перенеся $x$ в правую часть: $y - x = 1$.

Таким образом, условию задачи соответствует следующая система уравнений:$\begin{cases}xy = 90 \\y - x = 1\end{cases}$

Теперь сравним эту систему с предложенными вариантами:

1) $\begin{cases} xy = 90 \\ y = x - 1 \end{cases}$ — Неверно. Второе уравнение означает, что число ёлок ($y$) на 1 меньше числа рядов ($x$), что противоречит условию.

2) $\begin{cases} xy = 90 \\ y - x = 1 \end{cases}$ — Верно. Эта система полностью соответствует обоим условиям задачи.

3) $\begin{cases} xy = 90 \\ x - y = 1 \end{cases}$ — Неверно. Второе уравнение ($x=y+1$) означает, что число рядов ($x$) на 1 больше числа ёлок ($y$), что противоречит условию.

4) $\begin{cases} 2(x + y) = 90 \\ y - x = 1 \end{cases}$ — Неверно. Первое уравнение не описывает общее количество посаженных деревьев.

Ответ: 2.