Номер 5.8, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.1. Чтение графиков. Глава 5. Функции - номер 5.8, страница 216.

Условие.

5.8 Яхта отошла от причала на берегу озера и в течение часа курсировала по озеру. Через час она вернулась к причалу. Максимальное удаление от причала составило 3 км.

а) Начертите график, показывающий, как в течение этого часа могло меняться расстояние $s$ (км) от яхты до причала, и прокомментируйте этот график.

б) Используя свой график, постройте график движения яхты, отложив по горизонтальной оси время движения, а по вертикальной — пройденный яхтой путь.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для построения графика зависимости расстояния от причала $s$ от времени $t$, проанализируем условия задачи.

• Общее время движения: 1 час.
• Начальное расстояние в момент времени $t=0$: $s(0)=0$ км (яхта у причала).
• Конечное расстояние в момент времени $t=1$ час: $s(1)=0$ км (яхта вернулась к причалу).
• Максимальное удаление от причала: $s_{max}=3$ км.

Существует множество вариантов движения, удовлетворяющих этим условиям. Самый простой случай — это когда яхта движется с постоянной скоростью от причала до точки максимального удаления, а затем с постоянной скоростью возвращается обратно. Предположим, что на путь "туда" и "обратно" было затрачено одинаковое время — по 0.5 часа (30 минут).

Тогда график будет выглядеть следующим образом:

Комментарий к графику:

На графике по горизонтальной оси отложено время $t$ в часах, а по вертикальной — расстояние $s$ от яхты до причала в километрах.

• В начальный момент времени $t=0$ расстояние $s=0$, что соответствует положению яхты у причала.
• В течение первых 0.5 часа (от $t=0$ до $t=0.5$) расстояние $s$ линейно возрастает от 0 до 3 км. Это означает, что яхта удаляется от причала с постоянной скоростью.
• В момент времени $t=0.5$ часа яхта достигает максимального удаления от причала, равного 3 км.
• В течение следующих 0.5 часа (от $t=0.5$ до $t=1$) расстояние $s$ линейно убывает от 3 до 0 км. Это означает, что яхта возвращается к причалу, двигаясь с постоянной скоростью.
• В момент времени $t=1$ час расстояние $s=0$, яхта вернулась к причалу.

Стоит отметить, что это лишь один из возможных вариантов. Яхта могла двигаться с переменной скоростью (тогда линии на графике были бы кривыми) или делать остановки (тогда на графике были бы горизонтальные участки).

Ответ: Представлен график в виде треугольника с вершинами в точках $(0, 0)$, $(0.5, 3)$ и $(1, 0)$, и дан комментарий, объясняющий его.

б)

Теперь построим график движения яхты, где по вертикальной оси будет отложен пройденный путь $L$. Пройденный путь — это полная длина траектории, которую прошла яхта. В отличие от расстояния до причала $s$, пройденный путь $L$ не может уменьшаться; он либо возрастает (когда яхта движется), либо остается постоянным (когда яхта стоит).

Используем модель движения из пункта а).

1. За первые 0.5 часа яхта удалилась на 3 км. Пройденный путь за это время равен расстоянию удаления: $L(0.5) = 3$ км. Скорость на этом участке была $v_1 = \frac{3 \text{ км}}{0.5 \text{ ч}} = 6$ км/ч.
2. За вторые 0.5 часа яхта вернулась к причалу, пройдя еще 3 км. Общий пройденный путь к концу часа составляет $L(1) = 3 \text{ км} + 3 \text{ км} = 6$ км. Скорость на этом участке была $v_2 = \frac{3 \text{ км}}{0.5 \text{ ч}} = 6$ км/ч.

Поскольку скорость яхты в нашей модели была постоянной на протяжении всего пути (равной 6 км/ч, изменялся только вектор направления), то зависимость пройденного пути $L$ от времени $t$ будет линейной: $L(t) = v \cdot t = 6t$.

График этой зависимости — прямая линия, выходящая из начала координат.

Этот график показывает, что пройденный путь равномерно увеличивался в течение всего часа. В момент времени $t=1$ час общий пройденный путь составил 6 км.

Ответ: Представлен график пройденного пути от времени в виде прямой линии, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(1, 6)$.