Номер 5.9, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.1. Чтение графиков. Глава 5. Функции - номер 5.9, страница 216.

Условие.

5.9 Олег и Пётр соревновались на дистанции 200 м в 50-метровом бассейне. Графики их заплывов показаны на рисунке 5.12. По горизонтальной оси отложено время, а по вертикальной — соответствующее расстояние пловца от старта.

1) Используя графики, ответьте на вопросы:

а) Сколько времени затратил каждый спортсмен на первые 50 м; на всю дистанцию?

б) Кто выиграл соревнование? На сколько секунд он обогнал соперника?

в) На сколько метров отстал проигравший от победителя к моменту его финиша?

г) Объясните, что означают на рисунке точки пересечения графиков.

2) Прокомментируйте подробно весь ход соревнования.

$s, М$

Олег

Пётр

$t, с$

Рис. 5.12

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Используя графики, ответьте на вопросы:

а) Сколько времени затратил каждый спортсмен на первые 50 м; на всю дистанцию?

Для определения времени, затраченного на первые 50 м, находим на графике точки, где расстояние от старта $s$ впервые достигает 50 м. Для Олега (черная линия) это происходит при времени $t = 30$ с. Для Петра (синяя линия) это происходит при времени $t = 40$ с.

Вся дистанция составляет 200 м. В 50-метровом бассейне это соответствует двум полным кругам (туда и обратно дважды). На графике финиш соответствует второму возвращению пловца к точке старта ($s=0$). График Олега достигает $s=0$ во второй раз при времени $t = 120$ с. График Петра достигает $s=0$ во второй раз при времени $t = 140$ с.

Ответ: Олег затратил 30 секунд на первые 50 м и 120 секунд на всю дистанцию. Пётр затратил 40 секунд на первые 50 м и 140 секунд на всю дистанцию.

б) Кто выиграл соревнование? На сколько секунд он обогнал соперника?

Победителем является спортсмен, преодолевший дистанцию за меньшее время. Олег закончил заплыв за 120 с, а Пётр – за 140 с. Поскольку $120 \, \text{с} < 140 \, \text{с}$, победителем стал Олег. Он обогнал Петра на разницу во времени: $140 \, \text{с} - 120 \, \text{с} = 20 \, \text{с}$.

Ответ: Соревнование выиграл Олег. Он обогнал соперника на 20 секунд.

в) На сколько метров отстал проигравший от победителя к моменту его финиша?

Победитель, Олег, финишировал в момент времени $t = 120$ с. Чтобы найти, на сколько отстал Пётр, нужно определить, какое расстояние ему оставалось проплыть в этот момент. Из графика видно, что на отрезке времени с $t_1 = 110$ с до $t_2 = 140$ с Пётр плывет последний 50-метровый отрезок – от дальнего бортика ($s=50$ м) к старту ($s=0$ м). Его скорость на этом участке постоянна: $v = \frac{|s_2 - s_1|}{t_2 - t_1} = \frac{|0 - 50| \, \text{м}}{140 \, \text{с} - 110 \, \text{с}} = \frac{50 \, \text{м}}{30 \, \text{с}} = \frac{5}{3} \, \text{м/с}$. К моменту времени $t = 120$ с Пётр плыл на этом участке в течение $\Delta t = 120 \, \text{с} - 110 \, \text{с} = 10$ с. За это время он проплыл от дальнего бортика расстояние $d = v \cdot \Delta t = \frac{5}{3} \, \text{м/с} \cdot 10 \, \text{с} = \frac{50}{3} \, \text{м}$. Таким образом, его расстояние от старта (которое и оставалось проплыть до финиша) в этот момент составляло $L_{ост} = 50 \, \text{м} - d = 50 \, \text{м} - \frac{50}{3} \, \text{м} = \frac{100}{3} \, \text{м} \approx 33,3$ м.

Ответ: К моменту финиша победителя проигравший отстал от него на $\frac{100}{3}$ м (приблизительно на 33,3 м).

г) Объясните, что означают на рисунке точки пересечения графиков.

Точка пересечения двух графиков на диаграмме «расстояние-время» означает, что в данный момент времени ($t$) оба объекта (в данном случае пловцы) находятся на одинаковом расстоянии ($s$) от точки отсчета (старта). В контексте этой задачи это означает, что пловцы встретились. Так как они плывут в одном бассейне, они могут встретиться, двигаясь в противоположных направлениях, что и происходит во всех точках пересечения на данном графике.

Ответ: Точки пересечения графиков — это моменты времени, в которые пловцы встречались, находясь на одинаковом расстоянии от точки старта.

2) Прокомментируйте подробно весь ход соревнований.

Ответ: Ход соревнований можно описать по этапам, анализируя графики движения Олега (черная линия) и Петра (синяя линия).

Старт и первый отрезок (0-50 м): Оба пловца стартуют одновременно ($t=0$, $s=0$). Олег сразу вырывается вперед, преодолевая первые 50 метров за 30 секунд. Пётр плывет медленнее, ему требуется 40 секунд на этот же отрезок. К моменту, когда Олег разворачивается, Пётр отстает от него на 12,5 метров.

Первый круг (0-100 м): Плывя обратно, Олег встречает Петра, который еще движется к дальнему бортику. Их первая встреча происходит примерно на 34-й секунде на расстоянии около 43 м от старта. Олег заканчивает первый круг (100 м) за 60 секунд. В это время Пётр находится в 25 метрах от старта на обратном пути. Он завершает свой первый круг за 80 секунд, отставая от Олега уже на 20 секунд.

Второй круг (100-200 м): На второй половине дистанции Пётр заметно ускоряется. Его темп на последних 100 метрах становится таким же, как у Олега — 30 секунд на каждые 50 метров. Тем не менее, этого ускорения недостаточно, чтобы догнать лидера. Пловцы встречаются еще дважды, двигаясь в противоположных направлениях.

Финиш: Олег, сохраняя стабильно высокий темп на протяжении всей дистанции, финиширует первым с результатом 120 секунд. В момент его финиша Пётр находится на расстоянии $\frac{100}{3} \approx 33,3$ метра от финишной черты. Пётр заканчивает заплыв через 20 секунд после Олега, его общее время составляет 140 секунд. Таким образом, Олег лидировал всю гонку и одержал уверенную победу.