Номер 5.10, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 5.10, страница 219.

Условие.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (5.10–5.11)

5.10 а) Бассейн наполняется водой с помощью насоса, через который вода поступает со скоростью 20 л в минуту. За $t$ мин в бассейн наливается $V$ л воды. Задайте формулой зависимость $V$ от $t$. Найдите значение функции $V$ при значении аргумента $t$, равном 5; 10; 12,5. Найдите значение аргумента $t$, которому соответствует значение функции $V$, равное 60; 150; 340.

б) Имелось 100 кг муки. Ежедневно расходовали 3 кг муки. Через $x$ дней осталось $y$ кг муки. Задайте формулой зависимость $y$ от $x$. Найдите значение функции $y$ при значении аргумента $x$, равном 3; 10; 33. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 40; 55; 85. Укажите область определения функции.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Задайте формулой зависимость V от t.
Скорость поступления воды в бассейн составляет 20 литров в минуту. Объем воды $V$ (в литрах), налитой в бассейн за время $t$ (в минутах), вычисляется как произведение скорости на время. Следовательно, формула зависимости $V$ от $t$ выглядит так:
$V = 20t$

Найдите значение функции V при значении аргумента t, равном 5; 10; 12,5.
Для нахождения значения функции $V$ подставим заданные значения аргумента $t$ в формулу $V = 20t$.
- При $t = 5$: $V = 20 \cdot 5 = 100$ литров.
- При $t = 10$: $V = 20 \cdot 10 = 200$ литров.
- При $t = 12,5$: $V = 20 \cdot 12,5 = 250$ литров.

Найдите значение аргумента t, которому соответствует значение функции V, равное 60; 150; 340.
Для нахождения значения аргумента $t$ выразим его из формулы $V = 20t$, получим $t = \frac{V}{20}$, и подставим заданные значения функции $V$.
- При $V = 60$: $t = \frac{60}{20} = 3$ минуты.
- При $V = 150$: $t = \frac{150}{20} = 7,5$ минут.
- При $V = 340$: $t = \frac{340}{20} = 17$ минут.

Ответ: Формула зависимости $V = 20t$. При $t = 5, 10, 12,5$ значения $V$ равны соответственно 100 л, 200 л, 250 л. При $V = 60, 150, 340$ значения $t$ равны соответственно 3 мин, 7,5 мин, 17 мин.

б)

Задайте формулой зависимость y от x.
Изначальное количество муки — 100 кг. Ежедневный расход — 3 кг. За $x$ дней будет израсходовано $3x$ кг муки. Количество муки $y$ (в кг), которое останется через $x$ дней, равно разности начального количества и израсходованного. Формула зависимости $y$ от $x$:
$y = 100 - 3x$

Найдите значение функции y при значении аргумента x, равном 3; 10; 33.
Подставим данные значения $x$ в формулу $y = 100 - 3x$.
- При $x = 3$: $y = 100 - 3 \cdot 3 = 100 - 9 = 91$ кг.
- При $x = 10$: $y = 100 - 3 \cdot 10 = 100 - 30 = 70$ кг.
- При $x = 33$: $y = 100 - 3 \cdot 33 = 100 - 99 = 1$ кг.

Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 40; 55; 85.
Выразим $x$ из формулы $y = 100 - 3x$:
$3x = 100 - y$
$x = \frac{100 - y}{3}$
Подставим заданные значения $y$:
- При $y = 40$: $x = \frac{100 - 40}{3} = \frac{60}{3} = 20$ дней.
- При $y = 55$: $x = \frac{100 - 55}{3} = \frac{45}{3} = 15$ дней.
- При $y = 85$: $x = \frac{100 - 85}{3} = \frac{15}{3} = 5$ дней.

Укажите область определения функции.
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. В данной задаче количество дней $x$ не может быть отрицательным, то есть $x \ge 0$. Также количество оставшейся муки $y$ не может быть отрицательным: $y \ge 0$. Подставим выражение для $y$ в неравенство:
$100 - 3x \ge 0$
$100 \ge 3x$
$x \le \frac{100}{3}$ или $x \le 33\frac{1}{3}$.
Таким образом, аргумент $x$ должен удовлетворять двум условиям: $x \ge 0$ и $x \le \frac{100}{3}$. Область определения функции: $x \in [0; \frac{100}{3}]$. Если считать, что $x$ может быть только целым числом (количество полных дней расхода), то область определения будет множеством целых чисел от 0 до 33.

Ответ: Формула зависимости $y = 100 - 3x$. При $x = 3, 10, 33$ значения $y$ равны соответственно 91 кг, 70 кг, 1 кг. При $y = 40, 55, 85$ значения $x$ равны соответственно 20 дней, 15 дней, 5 дней. Область определения функции: $x \in [0; \frac{100}{3}]$.