Номер 5.15, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 5.15, страница 221.

Условие.

5.15 Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) $y = 5x - 12;$

б) $y = 2x^2 - 3x + 2;$

в) $y = \frac{5}{x + 1};$

г) $y = \frac{10}{4 + x^2};$

д) $y = \frac{x}{4x^2 - 9};$

е) $y = \frac{x^2 - 25}{10}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Функция $y = 5x - 12$ является линейной. Линейные функции (как и любые многочлены) определены для всех действительных чисел, так как для любого $x$ можно выполнить операции умножения и вычитания.

Ответ: $x$ — любое число, или в виде интервала $(-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = 2x^2 - 3x + 2$ является квадратичной, то есть многочленом второй степени. Выражение $2x^2 - 3x + 2$ имеет смысл при любых значениях $x$.

Ответ: $x$ — любое число, или $(-\infty; +\infty)$.

в) Данная функция $y = \frac{5}{x+1}$ является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель дроби равен нулю, так как деление на ноль не определено. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x + 1 = 0$ $x = -1$ Следовательно, область определения функции — все действительные числа, кроме -1.

Ответ: все числа, кроме -1, или $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

г) Функция $y = \frac{10}{4+x^2}$ является дробно-рациональной. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $4 + x^2 = 0$ $x^2 = -4$ Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Значит, знаменатель $4 + x^2$ всегда положителен (и, следовательно, не равен нулю) при любом $x$. Ограничений на область определения нет.

Ответ: $x$ — любое число, или $(-\infty; +\infty)$.

д) Функция $y = \frac{x}{4x^2 - 9}$ является дробно-рациональной. Область определения состоит из всех чисел $x$, для которых знаменатель не равен нулю. Найдем корни знаменателя: $4x^2 - 9 = 0$ $(2x - 3)(2x + 3) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$ $2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2} = -1.5$ Область определения — все действительные числа, кроме $x = -1.5$ и $x = 1.5$.

Ответ: все числа, кроме -1.5 и 1.5, или $x \in (-\infty; -1.5) \cup (-1.5; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$.

е) Функцию $y = \frac{x^2 - 25}{10}$ можно рассматривать как многочлен, так как знаменатель является константой, не равной нулю. Эту функцию можно записать в виде $y = 0.1x^2 - 2.5$. Как и для любого многочлена, область определения — все действительные числа.

Ответ: $x$ — любое число, или $(-\infty; +\infty)$.