Номер 5.11, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 5.11, страница 220.

Условие.

5.11 Среди учащихся восьмых классов школы провели шахматную олимпиаду, в которой каждый участник сыграл с каждым другим участником по одной партии. Число сыгранных партий $r$ является функцией числа участников олимпиады $m$. Задайте эту функцию формулой. Какова область определения этой функции? Заполните таблицу.

$m$ 5 6

$r$ 28 55

Как можно прокомментировать данные таблицы?

Решение 1.

Решение 4.

Задайте эту функцию формулой.

Пусть $m$ — это число участников шахматной олимпиады. По условию, каждый участник играет с каждым другим участником по одной партии.
Каждый из $m$ участников играет $m-1$ партию. Если мы умножим $m$ на $m-1$, мы посчитаем каждую партию дважды (например, партия между Ивановым и Петровым будет учтена как игра Иванова с Петровым и как игра Петрова с Ивановым).
Поэтому для нахождения общего числа сыгранных партий $r$ необходимо разделить полученное произведение на 2.
Эта задача относится к комбинаторике и представляет собой нахождение числа сочетаний из $m$ элементов по 2, которое вычисляется по той же формуле.

Ответ: $r(m) = \frac{m(m-1)}{2}$

Какова область определения этой функции?

Переменная $m$ (число участников) по своему физическому смыслу может быть только целым числом. Для проведения турнира, в котором играется хотя бы одна партия, необходимо наличие как минимум двух участников. Таким образом, число участников $m$ должно быть целым числом не меньшим, чем 2.

Ответ: Областью определения функции является множество натуральных чисел $m \ge 2$, то есть $m \in \{2, 3, 4, \dots\}$.

Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы воспользуемся полученной формулой $r = \frac{m(m-1)}{2}$.
1. При $m=5$: $r = \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
2. При $m=6$: $r = \frac{6 \cdot (6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.
3. При $r=28$: $28 = \frac{m(m-1)}{2}$
$56 = m(m-1)$
$m^2 - m - 56 = 0$. Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета или через дискриминант), находим корни $m_1=8$ и $m_2=-7$. Так как число участников не может быть отрицательным, $m=8$.
4. При $r=55$: $55 = \frac{m(m-1)}{2}$
$110 = m(m-1)$
$m^2 - m - 110 = 0$. Корни этого уравнения: $m_1=11$ и $m_2=-10$. По смыслу задачи подходит только положительный корень $m=11$.

Ответ:

m	5	6	8	11
r	10	15	28	55

Как можно прокомментировать данные таблицы?

Данные в таблице демонстрируют зависимость общего числа сыгранных партий ($r$) от числа участников олимпиады ($m$). Эта зависимость является квадратичной, а не линейной. Это означает, что при увеличении числа участников на одну и ту же величину, прирост числа партий будет разным и будет увеличиваться.
Например, при увеличении числа участников с 5 до 6 (на 1 человека), число партий возрастает на 5 (с 10 до 15). А при увеличении с 10 до 11 участников (также на 1 человека), число партий возрастет уже на 10 (с 45 до 55, где $r(10)=\frac{10 \cdot 9}{2}=45$).
Таким образом, чем больше участников в турнире, тем значительнее увеличивается общее количество игр при добавлении каждого нового участника.

Ответ: Таблица иллюстрирует, что число партий растет значительно быстрее, чем число участников. Эта зависимость является квадратичной, и с ростом числа участников темп увеличения количества партий ускоряется.