Номер 5.23, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.23, страница 225.

Условие.

5.23 Постройте график зависимости, если известно, что:

а) $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } x < 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3 \\ x & \text{при } -3 < x < 3 \\ -3 & \text{при } x \le -3; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} 0 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } -2 < x < 0 \\ 2 & \text{при } x \le -2; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} -x & \text{при } x \ge 0 \\ x^3 & \text{при } x < 0; \end{cases}$

д) $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3 \\ |x| & \text{при } -3 < x < 3 \\ 3 & \text{при } x \le -3; \end{cases}$

е) $y = \begin{cases} 4 & \text{при } x \le -2 \\ x^2 & \text{при } -2 < x < 2 \\ 4 & \text{при } x \ge 2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 4.

а)

Данная функция является кусочно-заданной. Построим ее график по частям на разных участках оси $x$.

1. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = x^2$. Графиком является правая ветвь стандартной параболы, которая проходит через начало координат. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$. Точка $(0,0)$ включена.

2. При $x < 0$ функция задается формулой $y = -x$. Графиком является луч прямой, который является биссектрисой второго координатного угла. Контрольные точки: $(-1, 1)$, $(-2, 2)$. Точка $(0,0)$ является предельной для этого луча, но не включается в него.

Совмещая эти два графика, получаем итоговый график. В точке $x=0$ значение первой части $y=0^2=0$, а предел второй части $\lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$. Так как значения совпадают, разрыва в точке $x=0$ нет.

Ответ: График состоит из двух частей, стыкующихся в точке $(0, 0)$: для $x < 0$ это луч прямой $y = -x$, идущий из начала координат во второй квадрант; для $x \ge 0$ это правая ветвь параболы $y = x^2$.

б)

Данная функция задана на трех интервалах. Рассмотрим каждый из них.

1. При $x \ge 3$ функция постоянна и равна $y=3$. Графиком является горизонтальный луч, выходящий из точки $(3, 3)$ и идущий вправо. Точка $(3, 3)$ включена.

2. При $-3 < x < 3$ функция задается формулой $y = x$. Графиком является отрезок прямой, который является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Отрезок соединяет точки $(-3, -3)$ и $(3, 3)$. Сами эти точки не включены (на концах отрезка "выколотые" точки).

3. При $x \le -3$ функция постоянна и равна $y = -3$. Графиком является горизонтальный луч, выходящий из точки $(-3, -3)$ и идущий влево. Точка $(-3, -3)$ включена.

Объединяем графики. "Выколотые" точки $(-3, -3)$ и $(3, 3)$ на концах центрального отрезка "закрываются" крайними точками горизонтальных лучей. Таким образом, график является непрерывной линией.

Ответ: График состоит из трех частей: горизонтального луча $y = -3$ при $x \le -3$, отрезка прямой $y=x$ от точки $(-3, -3)$ до точки $(3, 3)$ и горизонтального луча $y = 3$ при $x \ge 3$.

в)

Построим график этой кусочно-заданной функции, рассмотрев три участка.

1. При $x \ge 0$ функция постоянна и равна $y = 0$. Графиком является луч, совпадающий с положительной полуосью $Ox$, включая начало координат. Точка $(0, 0)$ включена.

2. При $-2 < x < 0$ функция задается формулой $y = -x$. Графиком является отрезок прямой. Границами отрезка служат точки, соответствующие $x=-2$ и $x=0$: $y(-2) = -(-2) = 2$ и $y(0) = -0 = 0$. Таким образом, это отрезок, соединяющий "выколотые" точки $(-2, 2)$ и $(0, 0)$.

3. При $x \le -2$ функция постоянна и равна $y = 2$. Графиком является горизонтальный луч, выходящий из точки $(-2, 2)$ и идущий влево. Точка $(-2, 2)$ включена.

Совмещая графики, видим, что "выколотые" точки на концах отрезка $y=-x$ "закрываются" крайними точками лучей. Функция непрерывна.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: горизонтального луча $y=2$ при $x \le -2$, отрезка прямой $y=-x$ между точками $(-2, 2)$ и $(0, 0)$, и горизонтального луча $y=0$ при $x \ge 0$.

г)

Рассмотрим две части, из которых состоит график данной функции.

1. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = -x$. Графиком является луч прямой, который является биссектрисой четвертого координатного угла, выходящий из начала координат. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -2)$. Точка $(0,0)$ включена.

2. При $x < 0$ функция задается формулой $y = x^3$. Графиком является левая ветвь кубической параболы. Контрольные точки: $(-1, -1)$, $(-2, -8)$. При $x \to 0^-$, $y \to 0$. Точка $(0,0)$ является предельной, но не включена в эту часть графика.

Объединяем графики. В точке $x=0$ значение первой части $y=0$, а предел второй части также равен $0$. Следовательно, разрыва в этой точке нет.

Ответ: График состоит из двух частей, стыкующихся в точке $(0, 0)$: для $x < 0$ это левая ветвь кубической параболы $y = x^3$; для $x \ge 0$ это луч прямой $y = -x$, идущий из начала координат в четвертый квадрант.

д)

Данная функция симметрична относительно оси $Oy$, так как $y(-x) = y(x)$. Построим ее график по частям.

1. При $-3 < x < 3$ функция задается формулой $y = |x|$. График этой функции — "галочка", состоящая из двух отрезков: $y=-x$ при $-3 < x < 0$ и $y=x$ при $0 \le x < 3$. Вершина находится в точке $(0, 0)$. Отрезки соединяют "выколотые" точки $(-3, 3)$ и $(3, 3)$ с точкой $(0, 0)$.

2. При $x \ge 3$ и при $x \le -3$ (что можно записать как $|x| \ge 3$) функция постоянна и равна $y=3$. Графиками являются два горизонтальных луча: один выходит из точки $(3, 3)$ и идет вправо, другой выходит из точки $(-3, 3)$ и идет влево. Точки $(3, 3)$ и $(-3, 3)$ включены.

Объединяя графики, видим, что "выколотые" точки на концах "галочки" "закрываются" крайними точками лучей. График является непрерывной линией.

Ответ: График имеет форму "ковша": в интервале $(-3, 3)$ это график модуля $y = |x|$ (V-образная линия с вершиной в $(0,0)$ и концами в точках $(-3,3)$ и $(3,3)$), а при $|x| \ge 3$ это два горизонтальных луча на уровне $y=3$.

е)

Данная функция также является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$. Рассмотрим ее части.

1. При $-2 < x < 2$ функция задается формулой $y = x^2$. Графиком является дуга параболы с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящая между "выколотыми" точками $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

2. При $x \le -2$ и при $x \ge 2$ (то есть при $|x| \ge 2$) функция постоянна и равна $y=4$. Графиками являются два горизонтальных луча на высоте $y=4$: один начинается в точке $(-2, 4)$ и идет влево, другой начинается в точке $(2, 4)$ и идет вправо. Точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ включены.

Совмещая графики, видим, что "выколотые" точки на концах дуги параболы "закрываются" крайними точками лучей. Функция непрерывна.

Ответ: График представляет собой дугу параболы $y = x^2$ на интервале $(-2, 2)$, которая в точках $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ плавно переходит в два горизонтальных луча $y=4$.