Номер 5.32, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.32, страница 227.

Условие.

5.32 МОДЕЛИРУЕМ

Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой являются числа: $-5$; $-1$; $2,5$; $4,5$.

Для каждой функции укажите промежутки, на которых её значения положительны; отрицательны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы начертить график функции, нулями которой являются числа -5, -1, 2,5 и 4,5, мы можем определить эту функцию в виде многочлена. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю, то есть это точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс ($Ox$).

Общий вид многочлена, имеющего заданные корни $x_1, x_2, x_3, x_4$, можно записать как $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)$, где $a$ — некоторый ненулевой коэффициент.

Подставив в эту формулу наши нули, получим:
$y = a(x - (-5))(x - (-1))(x - 2,5)(x - 4,5)$
$y = a(x + 5)(x + 1)(x - 2,5)(x - 4,5)$

Поскольку в задаче требуется построить график какой-нибудь одной функции, мы можем выбрать любое значение для коэффициента $a$. Для простоты возьмем $a=1$.

Итак, рассмотрим функцию: $y = (x + 5)(x + 1)(x - 2,5)(x - 4,5)$.

Чтобы определить, на каких промежутках значения функции положительны, а на каких отрицательны, воспользуемся методом интервалов. Нули функции -5, -1, 2,5 и 4,5 разбивают числовую ось на пять промежутков. Определим знак функции на каждом из них:
• Интервал $(-\infty; -5)$: выберем $x = -6$. $y = (-1)(-5)(-8,5)(-10,5) > 0$. Функция положительна.
• Интервал $(-5; -1)$: выберем $x = -2$. $y = (3)(-1)(-4,5)(-6,5) < 0$. Функция отрицательна.
• Интервал $(-1; 2,5)$: выберем $x = 0$. $y = (5)(1)(-2,5)(-4,5) > 0$. Функция положительна.
• Интервал $(2,5; 4,5)$: выберем $x = 3$. $y = (8)(4)(0,5)(-1,5) < 0$. Функция отрицательна.
• Интервал $(4,5; +\infty)$: выберем $x = 5$. $y = (10)(6)(2,5)(0,5) > 0$. Функция положительна.

Таким образом, мы можем схематически изобразить график. Это будет гладкая кривая, которая пересекает ось $Ox$ в точках -5, -1, 2,5, 4,5. График будет находиться выше оси $Ox$ на промежутках, где функция положительна, и ниже оси $Ox$, где она отрицательна.

Стоит отметить, что если бы мы выбрали отрицательный коэффициент, например $a=-1$, то знаки функции на всех интервалах поменялись бы на противоположные. Для функции $y = -(x + 5)(x + 1)(x - 2,5)(x - 4,5)$ промежутки положительности и отрицательности поменялись бы местами.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $y = (x + 5)(x + 1)(x - 2,5)(x - 4,5)$.
Её значения положительны на промежутках $(-\infty; -5)$, $(-1; 2,5)$ и $(4,5; +\infty)$.
Её значения отрицательны на промежутках $(-5; -1)$ и $(2,5; 4,5)$.