Номер 5.35, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.35, страница 227.

Условие.

5.35 Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству:

а) $x=y^2$;

б) $x=|y|$.

Решение 1.

Решение 4.

а) Равенство $x = y^2$.

Это уравнение задает параболу. В отличие от более привычной параболы $y = x^2$, у которой ветви направлены вверх, в данном случае переменные $x$ и $y$ поменялись ролями. Это означает, что осью симметрии параболы будет ось абсцисс (ось $Ox$), а не ось ординат.

Проанализируем уравнение:

1. Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$ для любого $y$), то и $x$ должен быть неотрицательным ($x \ge 0$). Это значит, что график будет расположен в правой полуплоскости (в первом и четвертом координатных квадрантах).
2. Вершина параболы находится в точке, где $y = 0$. При $y=0$, $x=0^2=0$. Таким образом, вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
3. Ветви параболы направлены в сторону положительных значений $x$, то есть вправо.

Для построения графика найдем несколько точек, удовлетворяющих уравнению, задавая значения для $y$ и вычисляя $x$:

• Если $y = 0$, то $x = 0$. Точка: $(0, 0)$.
• Если $y = 1$, то $x = 1^2 = 1$. Точка: $(1, 1)$.
• Если $y = -1$, то $x = (-1)^2 = 1$. Точка: $(1, -1)$.
• Если $y = 2$, то $x = 2^2 = 4$. Точка: $(4, 2)$.
• Если $y = -2$, то $x = (-2)^2 = 4$. Точка: $(4, -2)$.

Соединив эти точки плавной линией, мы получим параболу с вершиной в начале координат, симметричную относительно оси $Ox$ и с ветвями, направленными вправо.

Ответ: Множество точек является параболой с вершиной в точке $(0, 0)$, осью симметрии которой является ось $Ox$, а ветви направлены вправо.

б) Равенство $x = |y|$.

Это уравнение содержит модуль, поэтому для его решения нужно рассмотреть два случая, исходя из определения модуля:

$|y| = \begin{cases} y, & \text{если } y \ge 0 \\ -y, & \text{если } y < 0 \end{cases}$

1. Случай 1: $y \ge 0$.

   В этом случае уравнение принимает вид $x=y$. Это уравнение прямой, которая является биссектрисой первого координатного угла. Учитывая условие $y \ge 0$, мы берем только ту часть этой прямой, которая лежит в первой координатной четверти, включая начало координат. Это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точки $(1, 1)$, $(2, 2)$ и т.д.

2. Случай 2: $y < 0$.

   В этом случае уравнение принимает вид $x=-y$ или $y=-x$. Это уравнение прямой, которая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Учитывая условие $y < 0$, мы берем только ту часть этой прямой, которая лежит в четвертой координатной четверти. Это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точки $(1, -1)$, $(2, -2)$ и т.д.

Объединяя оба случая, мы получаем график, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат $(0, 0)$. Первый луч — это $y=x$ при $x \ge 0$, а второй — $y=-x$ при $x \ge 0$. Вместе они образуют "угол" или "галочку", открывающуюся вправо, с вершиной в начале координат и симметричную относительно оси $Ox$.

Ответ: Множество точек представляет собой объединение двух лучей: луча $y=x$ для $x \ge 0$ и луча $y=-x$ для $x \ge 0$. График представляет собой угол с вершиной в начале координат, симметричный относительно оси $Ox$.