Номер 5.42, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.42, страница 229.

Условие.

5.42 Постройте график функции и перечислите её свойства:

а) $y=\begin{cases} x^2, \text{ если } |x| \le 1 \\ 1, \text{ если } |x| > 1; \end{cases}$

б) $y=\begin{cases} -8, \text{ если } x < -2 \\ x^3, \text{ если } -2 \le x \le 2 \\ 8, \text{ если } x > 2. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Данная функция является кусочно-заданной. Раскроем модуль в условии:

$|x| \le 1 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1$

$|x| > 1 \Leftrightarrow x < -1$ или $x > 1$

Таким образом, функцию можно переписать в виде:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Построение графика:

График функции состоит из трех частей:

• На промежутке $(-\infty; -1]$ график представляет собой горизонтальный луч $y=1$.
• На отрезке $[-1; 1]$ график совпадает с параболой $y=x^2$. Это дуга параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и концами в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.
• На промежутке $[1; +\infty)$ график представляет собой горизонтальный луч $y=1$.

Так как в точках "стыка" $x=-1$ и $x=1$ значения функции совпадают ($y(-1) = (-1)^2 = 1$ и $y(1) = 1^2 = 1$), график является непрерывной линией.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех действительных чисел $x$.
• Область значений: $E(y) = [0; 1]$. Минимальное значение $y=0$ достигается при $x=0$, максимальное значение $y=1$ достигается при $|x| \ge 1$.
• Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = y(x)$ для всех $x$ из области определения. Если $|x| \le 1$, то $|-x| \le 1$ и $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. Если $|x| > 1$, то $|-x| > 1$ и $y(-x) = 1 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси Oy.
• Нули функции: $y=0$ при $x^2=0$, то есть при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на отрезке $[-1; 0]$; возрастает на отрезке $[0; 1]$; постоянна на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$.
• Экстремумы: $x=0$ — точка минимума, $y_{min} = 0$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции представляет собой дугу параболы $y=x^2$ на отрезке $[-1, 1]$, соединенную с двумя горизонтальными лучами $y=1$ на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$. Основные свойства: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$; область значений $E(y)=[0; 1]$; функция четная; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x \ne 0$; убывает на $[-1, 0]$, возрастает на $[0, 1]$, постоянна на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$; $y_{min}=0$ при $x=0$; непрерывна на всей области определения.

б)

Данная функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} -8, & \text{если } x < -2 \\ x^3, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 8, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Построение графика:

График функции состоит из трех частей:

• На промежутке $(-\infty; -2]$ график представляет собой горизонтальный луч $y=-8$.
• На отрезке $[-2; 2]$ график совпадает с кубической параболой $y=x^3$. Это дуга, проходящая через начало координат и соединяющая точки $(-2, -8)$ и $(2, 8)$.
• На промежутке $[2; +\infty)$ график представляет собой горизонтальный луч $y=8$.

Так как в точках "стыка" $x=-2$ и $x=2$ значения функции совпадают ($y(-2) = (-2)^3 = -8$ и $y(2) = 2^3 = 8$), график является непрерывной линией.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-8; 8]$.
• Четность: Функция является нечетной. Область определения симметрична относительно нуля. Проверим $y(-x) = -y(x)$:
  • Если $-2 \le x \le 2$, то $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$.
  • Если $x > 2$, то $-x < -2$, тогда $y(x) = 8$, а $y(-x) = -8$, следовательно $y(-x) = -y(x)$.
  • Если $x < -2$, то $-x > 2$, тогда $y(x) = -8$, а $y(-x) = 8$, следовательно $y(-x) = -y(x)$.
  График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $x^3=0$, то есть при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на отрезке $[-2; 2]$; постоянна на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$. Функция является неубывающей на всей области определения.
• Экстремумы: Локальных экстремумов нет. Глобальный минимум $y_{min}=-8$ достигается при всех $x \le -2$. Глобальный максимум $y_{max}=8$ достигается при всех $x \ge 2$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции представляет собой дугу кубической параболы $y=x^3$ на отрезке $[-2, 2]$, соединенную с двумя горизонтальными лучами: $y=-8$ на промежутке $(-\infty, -2]$ и $y=8$ на промежутке $[2, +\infty)$. Основные свойства: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$; область значений $E(y)=[-8; 8]$; функция нечетная; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x>0$, $y<0$ при $x<0$; возрастает на $[-2, 2]$, постоянна на $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$; непрерывна на всей области определения.