Номер 5.38, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.38, страница 228.

Условие.

5.38 a) На рисунке 5.25 изображён график функции $y = x^3 + 3x^2 - x - 3.$

Найдите координаты точек A, B и C.

б) На рисунке 5.26 изображён график функции $y = x^4 - 6x^2 + 5.$

Найдите координаты точек A, B, C и D.

Рис. 5.25

Рис. 5.26

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) На рисунке 5.25 изображен график функции $y = x^3 + 3x^2 - x - 3$. Необходимо найти координаты точек A, B и C.

Точки A и B являются точками пересечения графика с осью абсцисс (осью x). В этих точках координата $y$ равна нулю. Для нахождения их координат решим уравнение:

$x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 3x^2) - (x + 3) = 0$

$x^2(x + 3) - 1(x + 3) = 0$

$(x^2 - 1)(x + 3) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$.

Из графика видно, что точка A — это самая левая точка пересечения, следовательно, ее абсцисса $x_A = -3$. Точка B — это точка пересечения с положительной частью оси x, значит, ее абсцисса $x_B = 1$. Таким образом, координаты точек:

$A(-3; 0)$ и $B(1; 0)$.

Точка C является точкой локального минимума функции. Чтобы найти ее координаты, нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю и найти корни, которые являются абсциссами точек экстремума.

$y' = (x^3 + 3x^2 - x - 3)' = 3x^2 + 6x - 1$

Приравняем производную к нулю:

$3x^2 + 6x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 36 + 12 = 48$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = -1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Мы получили две точки экстремума: $x_{max} = -1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$ (локальный максимум) и $x_{min} = -1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$ (локальный минимум). Судя по графику, точка C является локальным минимумом, значит, ее абсцисса $x_C = -1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Теперь найдем ординату точки C, подставив значение $x_C$ в исходное уравнение функции $y = x^3 + 3x^2 - x - 3$.

$y_C = (-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3})^3 + 3(-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3})^2 - (-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}) - 3$

Для упрощения вычислений можно заметить, что при делении многочлена $x^3 + 3x^2 - x - 3$ на $3x^2 + 6x - 1$ (значение которого в точке C равно нулю), мы получаем: $y(x) = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{3})(3x^2 + 6x - 1) - \frac{8}{3}x - \frac{8}{3}$. Поскольку в точке C $3x_C^2 + 6x_C - 1 = 0$, то $y_C = -\frac{8}{3}x_C - \frac{8}{3}$.

$y_C = -\frac{8}{3}(-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}) - \frac{8}{3} = \frac{8}{3} - \frac{16\sqrt{3}}{9} - \frac{8}{3} = -\frac{16\sqrt{3}}{9}$

Итак, координаты точки C: $(-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}; -\frac{16\sqrt{3}}{9})$.

Ответ: $A(-3; 0)$, $B(1; 0)$, $C(-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}; -\frac{16\sqrt{3}}{9})$.

---

б) На рисунке 5.26 изображен график функции $y = x^4 - 6x^2 + 5$. Необходимо найти координаты точек A, B, C и D.

Точки A, B и C являются точками пересечения графика с осью абсцисс (осью x), где $y=0$. Найдем их координаты, решив уравнение:

$x^4 - 6x^2 + 5 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$. Оба корня положительные.

Вернемся к переменной $x$:

1) $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

2) $x^2 = 5 \implies x = \pm \sqrt{5}$

Таким образом, график пересекает ось x в четырех точках: $-\sqrt{5}, -1, 1, \sqrt{5}$.

Согласно расположению точек на графике:

• Точка A — крайняя левая, ее абсцисса $x_A = -\sqrt{5}$.
• Точка B — следующая, ее абсцисса $x_B = -1$.
• Точка C — точка справа от начала координат, ее абсцисса $x_C = 1$.

Координаты этих точек: $A(-\sqrt{5}; 0)$, $B(-1; 0)$, $C(1; 0)$.

Точка D — это точка пересечения графика с осью ординат (осью y). Для ее нахождения нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y = 0^4 - 6 \cdot 0^2 + 5 = 5$

Координаты точки D: $(0; 5)$.

Из графика также видно, что точка D является точкой локального максимума. Это можно проверить с помощью производной: $y' = 4x^3 - 12x = 4x(x^2 - 3)$. При $x=0$ производная равна нулю. Вторая производная $y'' = 12x^2 - 12$ в точке $x=0$ равна $-12$, что меньше нуля, и это подтверждает, что в точке D находится максимум.

Ответ: $A(-\sqrt{5}; 0)$, $B(-1; 0)$, $C(1; 0)$, $D(0; 5)$.