Номер 5.34, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.34, страница 227.

Условие.

5.34 Изобразите на координатной плоскости множество точек, ко-ординаты которых удовлетворяют условиям:

а) $y = x^2$ и $1 \leq y \leq 9$;

б) $y = x^3$ и $-8 \leq y \leq 1$;

в) $y = |x|$ и $y \leq 3$;

г) $y = |x|$ и $y \geq 1$.

Решение 1.

Решение 4.

а) Требуется изобразить множество точек, для которых одновременно выполняются два условия: $y = x^2$ и $1 \le y \le 9$.

График функции $y=x^2$ представляет собой параболу, симметричную относительно оси $Oy$, с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Второе условие $1 \le y \le 9$ задает горизонтальную полосу на координатной плоскости, ограниченную прямыми $y=1$ и $y=9$.

Чтобы найти искомое множество, нужно найти часть параболы $y=x^2$, которая находится в этой полосе. Для этого найдем значения $x$, соответствующие границам по $y$.

• При $y=1$, подставляем в уравнение параболы: $1 = x^2$, откуда $x = \pm 1$. Это дает нам точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.
• При $y=9$, подставляем в уравнение параболы: $9 = x^2$, откуда $x = \pm 3$. Это дает нам точки $(-3, 9)$ и $(3, 9)$.

Таким образом, искомое множество состоит из двух симметричных частей параболы. Первая часть — это дуга параболы от точки $(-3, 9)$ до точки $(-1, 1)$. Вторая часть — это дуга параболы от точки $(1, 1)$ до точки $(3, 9)$. Так как неравенства нестрогие, все четыре граничные точки принадлежат множеству.

Ответ: Два участка параболы $y=x^2$, симметричные относительно оси $Oy$. Один участок соединяет точки с координатами $(-3, 9)$ и $(-1, 1)$, второй — точки с координатами $(1, 1)$ и $(3, 9)$.

б) Требуется изобразить множество точек, для которых выполняются условия: $y=x^3$ и $-8 \le y \le 1$.

График функции $y=x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат.

Условие $-8 \le y \le 1$ ограничивает график по оси ординат. Найдем соответствующие значения $x$.

• При $y=-8$, получаем $x^3 = -8$, откуда $x = \sqrt[3]{-8} = -2$. Координаты точки: $(-2, -8)$.
• При $y=1$, получаем $x^3 = 1$, откуда $x = \sqrt[3]{1} = 1$. Координаты точки: $(1, 1)$.

Искомое множество точек — это непрерывный участок графика $y=x^3$, заключенный между точками $(-2, -8)$ и $(1, 1)$. Концевые точки включены.

Ответ: Участок графика функции $y=x^3$ от точки $(-2, -8)$ до точки $(1, 1)$ включительно.

в) Требуется изобразить множество точек, для которых выполняются условия: $y=|x|$ и $y \le 3$.

График функции $y=|x|$ представляет собой два луча, выходящих из начала координат и образующих "галочку": $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$.

Условие $y \le 3$ означает, что мы рассматриваем часть графика, которая лежит не выше прямой $y=3$. Поскольку $y=|x|$ всегда неотрицательно ($y \ge 0$), полное условие для $y$ можно записать как $0 \le y \le 3$.

Найдем точки пересечения графика $y=|x|$ с прямой $y=3$: $|x|=3$, что дает $x=3$ и $x=-3$. Точки пересечения: $(-3, 3)$ и $(3, 3)$.

Искомое множество — это часть графика $y=|x|$ от его вершины $(0,0)$ до точек пересечения с прямой $y=3$.

Ответ: Два отрезка, выходящие из начала координат: один соединяет точку $(0, 0)$ с точкой $(-3, 3)$, а другой — точку $(0, 0)$ с точкой $(3, 3)$.

г) Требуется изобразить множество точек, для которых выполняются условия: $y=|x|$ и $y \ge 1$.

Мы снова рассматриваем график функции $y=|x|$.

Условие $y \ge 1$ означает, что нас интересует та часть графика, которая лежит не ниже прямой $y=1$.

Найдем точки на графике, где $y=1$: $|x|=1$, что дает $x=1$ и $x=-1$. Это точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Искомое множество — это две части исходного графика, которые начинаются в этих точках и уходят в бесконечность вверх.

Ответ: Два луча, являющиеся частями графика $y=|x|$. Один луч начинается в точке $(-1, 1)$ и идет вверх-влево (соответствует $y=-x$ при $x \le -1$). Второй луч начинается в точке $(1, 1)$ и идет вверх-вправо (соответствует $y=x$ при $x \ge 1$).