Номер 5.41, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.41, страница 229.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

5.41 На рисунке 5.27 построены графики квадратных трёхчленов: $f(x) = x^2 - 4x + 4$, $g(x) = x^2 - 2x + 4$, $h(x) = 2x^2 - 6x + 4$.

Соотнесите каждый график с формулой.

Рис. 5.27

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы соотнести каждую формулу с её графиком, мы проанализируем свойства каждой квадратичной функции. Самый надежный способ — найти координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$, которые вычисляются по формулам: $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = y(x_v)$.

f(x) = x² - 4x + 4

Для данной функции коэффициенты $a=1$, $b=-4$, $c=4$. Вычислим координаты вершины:
$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$
Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.
Также можно заметить, что $f(x) = (x-2)^2$, что является графиком стандартной параболы, смещенной на 2 единицы вправо. Среди предложенных графиков только график ① имеет вершину в точке $(2, 0)$.
Ответ: $f(x)$ - график ①.

g(x) = x² - 2x + 4

Для данной функции коэффициенты $a=1$, $b=-2$, $c=4$. Вычислим координаты вершины:
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$
$y_v = g(1) = 1^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$
Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.
Этим координатам соответствует вершина параболы на графике ②. Для проверки найдем точку пересечения с осью $y$. При $x=0$, $g(0)=4$. График действительно проходит через точку $(0, 4)$.
Ответ: $g(x)$ - график ②.

h(x) = 2x² - 6x + 4

Для данной функции коэффициенты $a=2$, $b=-6$, $c=4$. Вычислим координаты вершины:
$x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
$y_v = h(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 4 = 2(2.25) - 9 + 4 = 4.5 - 9 + 4 = -0.5$
Вершина параболы находится в точке $(1.5, -0.5)$.
Такая вершина (с абсциссой 1.5 и ординатой -0.5) есть только у графика ③. Коэффициент $a=2$ также указывает на то, что парабола будет "уже", чем две предыдущие (у которых $a=1$), что визуально подтверждается на рисунке.
Ответ: $h(x)$ - график ③.