Номер 5.40, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.40, страница 229.

Условие.

5.40 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Найдите нули функции:

а) $y = 5x - x^3$;

б) $y = 2x^3 - 6x^2 - 8x$;

в) $y = x^3 - x^2 - x + 1$;

г) $y = x^3 - x^2 + x - 1$;

д) $y = 8x^4 - 125x$;

е) $y = 2x^5 + 54x^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции к нулю, то есть решить уравнение $y = 0$.

а) $y = 5x - x^3$

Приравниваем функцию к нулю:

$5x - x^3 = 0$

Выносим общий множитель $x$ за скобки:

$x(5 - x^2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $5 - x^2 = 0$

Решаем второе уравнение:

$x^2 = 5$

$x_2 = \sqrt{5}$, $x_3 = -\sqrt{5}$

Ответ: $-\sqrt{5}; 0; \sqrt{5}$.

б) $y = 2x^3 - 6x^2 - 8x$

Приравниваем функцию к нулю:

$2x^3 - 6x^2 - 8x = 0$

Выносим общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Отсюда $2x = 0$ или $x^2 - 3x - 4 = 0$.

$x_1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_3 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1; 0; 4$.

в) $y = x^3 - x^2 - x + 1$

Приравниваем функцию к нулю:

$x^3 - x^2 - x + 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - x^2) - (x - 1) = 0$

Выносим общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 1) - 1(x - 1) = 0$

Выносим общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)(x^2 - 1) = 0$

Раскладываем второй множитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 1)(x - 1)(x + 1) = 0$

$(x - 1)^2(x + 1) = 0$

Отсюда $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$.

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 1$.

г) $y = x^3 - x^2 + x - 1$

Приравниваем функцию к нулю:

$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0$

Выносим общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$

Выносим общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)(x^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x - 1 = 0$ $\Rightarrow$ $x = 1$.

Выражение $x^2 + 1$ всегда больше нуля ($x^2 \ge 0$, значит $x^2 + 1 \ge 1$), поэтому уравнение $x^2+1=0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, у функции только один нуль.

Ответ: $1$.

д) $y = 8x^4 - 125x$

Приравниваем функцию к нулю:

$8x^4 - 125x = 0$

Выносим общий множитель $x$ за скобки:

$x(8x^3 - 125) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $8x^3 - 125 = 0$.

Решаем второе уравнение, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(2x)^3 - 5^3 = 0$

$(2x - 5)( (2x)^2 + 2x \cdot 5 + 5^2 ) = 0$

$(2x - 5)(4x^2 + 10x + 25) = 0$

Первый множитель $2x - 5 = 0$ $\Rightarrow$ $2x = 5$ $\Rightarrow$ $x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$.

Рассмотрим второй множитель $4x^2 + 10x + 25 = 0$.

Дискриминант $D = 10^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 100 - 400 = -300$.

Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $0; 2.5$.

е) $y = 2x^5 + 54x^2$

Приравниваем функцию к нулю:

$2x^5 + 54x^2 = 0$

Выносим общий множитель $2x^2$ за скобки:

$2x^2(x^3 + 27) = 0$

Отсюда $2x^2 = 0$ или $x^3 + 27 = 0$.

$x^2 = 0$ $\Rightarrow$ $x_1 = 0$.

Решаем второе уравнение, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 3^3 = 0$

$(x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0$

Первый множитель $x + 3 = 0$ $\Rightarrow$ $x_2 = -3$.

Рассмотрим второй множитель $x^2 - 3x + 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27$.

Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-3; 0$.