Номер 5.36, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.36, страница 227.

Условие.

5.36 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что график функции:

a) $y = 3x^2 + 4$ целиком расположен в верхней полуплоскости;

б) $y = \frac{x^2+5}{x-5}$ не пересекает ось $x$;

в) $y = 3-\frac{1}{x}$ не пересекает ось $y$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы доказать, что график функции $y = 3x^2 + 4$ целиком расположен в верхней полуплоскости, нужно показать, что для любого действительного значения $x$ значение $y$ будет положительным ($y > 0$).
Рассмотрим выражение $3x^2 + 4$.
1. Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
2. Умножение неотрицательного числа на положительное число (3) также дает неотрицательный результат: $3x^2 \ge 0$.
3. Прибавление к неотрицательному числу положительного числа (4) дает результат, который строго больше нуля. Наименьшее возможное значение выражения $3x^2$ равно 0 (при $x=0$). Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $3 \cdot 0^2 + 4 = 4$.
Таким образом, для любого значения $x$ выполняется неравенство $y \ge 4$. Поскольку $4 > 0$, то и $y > 0$ для всех $x$.
Так как ордината ($y$) любой точки графика является положительным числом, график функции целиком расположен в верхней полуплоскости.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что график функции $y = \frac{x^2+5}{x-5}$ не пересекает ось $x$, нужно показать, что не существует такого значения $x$, при котором $y=0$.
Пересечение с осью $x$ происходит в точках, где $y=0$. Приравняем функцию к нулю:
$\frac{x^2+5}{x-5} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Приравняем числитель к нулю: $x^2 + 5 = 0$.
Перенесем 5 в правую часть: $x^2 = -5$.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
2. Убедимся, что знаменатель не обращается в ноль одновременно с числителем. Область определения функции: $x-5 \ne 0$, то есть $x \ne 5$.
Поскольку уравнение $x^2 + 5 = 0$ не имеет решений в действительных числах, не существует такого $x$, при котором $y=0$. Следовательно, график функции не пересекает ось $x$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что график функции $y = 3 - \frac{1}{x}$ не пересекает ось $y$, нужно показать, что функция не определена при $x=0$.
Пересечение с осью $y$ происходит в точке, где абсцисса $x=0$.
Найдем область определения данной функции. Функция содержит дробное выражение $\frac{1}{x}$, знаменатель которого не может быть равен нулю. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.
Поскольку значение $x=0$ не входит в область определения функции, это означает, что на графике нет ни одной точки с абсциссой $x=0$. Следовательно, график функции не может пересекать ось $y$.
Ответ: Что и требовалось доказать.