Номер 5.33, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.33, страница 227.

Условие.

5.33 АНАЛИЗИРУЕМ

В одной системе координат постройте параболу $y=x^2$ и прямую $y=-x$. Найдите координаты точек пересечения этих графиков. При каких значениях $x$ парабола лежит выше прямой; ниже прямой?

Решение 1.

Решение 4.

Для решения задачи сначала опишем построение графиков, затем найдем их точки пересечения и, наконец, определим, при каких значениях $x$ один график лежит выше или ниже другого.

График функции $y=x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$, симметричная относительно оси $Oy$ и с ветвями, направленными вверх. Для построения можно использовать точки, например, $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.

График функции $y=-x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$ и, например, точку $(1, -1)$. Она является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Найдите координаты точек пересечения этих графиков.

Чтобы найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений параболы и прямой: $$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = -x \end{cases} $$ Приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ совпадают: $x^2 = -x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x+1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ или $x_2 + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = -x$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = -(0) = 0$. Первая точка пересечения — $(0, 0)$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = -(-1) = 1$. Вторая точка пересечения — $(-1, 1)$.

Ответ: Координаты точек пересечения графиков: $(0, 0)$ и $(-1, 1)$.

При каких значениях x парабола лежит выше прямой;

Парабола лежит выше прямой, если для тех же значений $x$ значение функции $y=x^2$ больше значения функции $y=-x$. Это условие можно записать в виде неравенства: $x^2 > -x$

Перенесем $x$ в левую часть и решим полученное квадратное неравенство: $x^2 + x > 0$

Разложим левую часть на множители: $x(x+1) > 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Корни соответствующего уравнения $x(x+1)=0$ равны $x=-1$ и $x=0$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$ и $(0, +\infty)$. Функция $f(x)=x^2+x$ представляет собой параболу с ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения на интервалах, находящихся вне корней. Следовательно, неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

Ответ: Парабола лежит выше прямой при $x < -1$ или $x > 0$.

ниже прямой?

Парабола лежит ниже прямой, если для тех же значений $x$ значение функции $y=x^2$ меньше значения функции $y=-x$. Это соответствует неравенству: $x^2 < -x$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем неравенство: $x^2 + x < 0$

$x(x+1) < 0$

Используя тот же метод интервалов и те же корни $x=-1$ и $x=0$, мы ищем, где парабола $f(x)=x^2+x$ принимает отрицательные значения. Это происходит на интервале между корнями. Следовательно, неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит интервалу $(-1, 0)$.

Ответ: Парабола лежит ниже прямой при $-1 < x < 0$.