Номер 5.48, страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.4. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 5.48, страница 232.

Условие.

5.48 В одной системе координат постройте графики линейных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ и определите значения $x$, при которых $f(x) = g(x)$; $f(x) > g(x)$; $f(x) < g(x)$:

a) $f(x) = 2x-5$, $g(x)=\frac{1}{2}x+1$;

б) $f(x) = x+3$, $g(x)=-\frac{1}{3}x$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо для каждого пункта построить графики заданных линейных функций и затем найти значения x, для которых выполняются указанные условия. Построение графика линейной функции, являющейся прямой, требует нахождения координат двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Решение уравнений и неравенств будет выполнено аналитически для точности.

a)

Даны функции $f(x) = 2x - 5$ и $g(x) = \frac{1}{2}x + 1$.

1. Построение графиков.

Найдем по две точки для каждой функции, чтобы построить их графики.

Для графика функции $y = f(x) = 2x - 5$:

• При $x=0$, $y = 2(0) - 5 = -5$. Получаем точку $(0, -5)$.
• При $x=3$, $y = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.

Для графика функции $y = g(x) = \frac{1}{2}x + 1$:

• При $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• При $x=2$, $y = \frac{1}{2}(2) + 1 = 1 + 1 = 2$. Получаем точку $(2, 2)$.

Соединив соответствующие пары точек прямыми линиями на координатной плоскости, мы получим графики функций $f(x)$ и $g(x)$.

2. Определение значений x.

$f(x) = g(x)$: Это равенство выполняется в точке пересечения графиков. Найдем абсциссу этой точки, решив уравнение:

$2x - 5 = \frac{1}{2}x + 1$

$2x - \frac{1}{2}x = 1 + 5$

$\frac{3}{2}x = 6$

$x = 6 \cdot \frac{2}{3}$

$x = 4$

$f(x) > g(x)$: Это неравенство выполняется, когда график функции $f(x)$ находится выше графика $g(x)$. Поскольку угловой коэффициент функции $f(x)$ больше углового коэффициента $g(x)$ ($2 > \frac{1}{2}$), функция $f(x)$ "растет" быстрее. Следовательно, после точки пересечения ($x=4$) ее значения будут больше.

Решим неравенство: $2x - 5 > \frac{1}{2}x + 1 \implies \frac{3}{2}x > 6 \implies x > 4$.

$f(x) < g(x)$: Это неравенство выполняется, когда график $f(x)$ находится ниже графика $g(x)$, что происходит до их точки пересечения.

Решим неравенство: $2x - 5 < \frac{1}{2}x + 1 \implies \frac{3}{2}x < 6 \implies x < 4$.

Ответ: $f(x)=g(x)$ при $x=4$; $f(x)>g(x)$ при $x > 4$ (или $x \in (4; +\infty)$); $f(x)<g(x)$ при $x < 4$ (или $x \in (-\infty; 4)$).

б)

Даны функции $f(x) = x + 3$ и $g(x) = -\frac{1}{3}x$.

1. Построение графиков.

Найдем по две точки для каждой функции.

Для графика функции $y = f(x) = x + 3$:

• При $x=0$, $y = 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
• При $x=-3$, $y = -3 + 3 = 0$. Получаем точку $(-3, 0)$.

Для графика функции $y = g(x) = -\frac{1}{3}x$:

• При $x=0$, $y = -\frac{1}{3}(0) = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
• При $x=3$, $y = -\frac{1}{3}(3) = -1$. Получаем точку $(3, -1)$.

Соединив соответствующие пары точек прямыми, мы получим графики функций $f(x)$ и $g(x)$.

2. Определение значений x.

$f(x) = g(x)$: Найдем абсциссу точки пересечения, решив уравнение:

$x + 3 = -\frac{1}{3}x$

$x + \frac{1}{3}x = -3$

$\frac{4}{3}x = -3$

$x = -3 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{9}{4}$ (или $-2.25$)

$f(x) > g(x)$: График $f(x)$ выше графика $g(x)$. Угловой коэффициент $f(x)$ равен 1, а у $g(x)$ он равен $-\frac{1}{3}$. Так как $1 > -\frac{1}{3}$, то после точки пересечения значения $f(x)$ будут больше.

Решим неравенство: $x + 3 > -\frac{1}{3}x \implies \frac{4}{3}x > -3 \implies x > -\frac{9}{4}$.

$f(x) < g(x)$: График $f(x)$ ниже графика $g(x)$. Это происходит до точки пересечения.

Решим неравенство: $x + 3 < -\frac{1}{3}x \implies \frac{4}{3}x < -3 \implies x < -\frac{9}{4}$.

Ответ: $f(x)=g(x)$ при $x=-\frac{9}{4}$; $f(x)>g(x)$ при $x > -\frac{9}{4}$ (или $x \in (-\frac{9}{4}; +\infty)$); $f(x)<g(x)$ при $x < -\frac{9}{4}$ (или $x \in (-\infty; -\frac{9}{4})$).