Номер 5.54, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.4. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 5.54, страница 234.

Условие.

5.54 АНАЛИЗИРУЕМ

Оптовый магазин продает тетради, устанавливая цену одной тетради таким образом: при покупке от 1 до 50 тетрадей — 20 р. за тетрадь, следующие 50—100 тетрадей — 15 р. за тетрадь и, наконец, каждая тетрадь сверх 100 штук — 10 р. за тетрадь. Какой из графиков (рис. 5.33) может быть использован для определения стоимости покупки $n$ тетрадей?

Рис. 5.33

Решение 1.

Решение 4.

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует условию задачи, проанализируем зависимость стоимости покупки от количества тетрадей. Обозначим количество тетрадей как $n$, а общую стоимость покупки как $C(n)$.

В задаче описана система оптовых скидок с изменением цены для разных партий товара. Такую систему ценообразования называют маржинальной.

1. Расчет стоимости для первого диапазона (от 1 до 50 тетрадей).

При покупке от 1 до 50 тетрадей цена каждой тетради составляет 20 рублей. Стоимость покупки $C(n)$ будет прямо пропорциональна количеству тетрадей $n$:

$C(n) = 20n$, при $1 \le n \le 50$.

На графике эта зависимость будет выглядеть как отрезок прямой, выходящий из начала координат. При $n = 50$ стоимость составит $C(50) = 20 \cdot 50 = 1000$ рублей.

2. Расчет стоимости для второго диапазона (от 51 до 100 тетрадей).

В условии сказано "следующие 50–100 тетрадей — 15 р. за тетрадь". Это означает, что первые 50 тетрадей по-прежнему стоят по 20 рублей, а каждая тетрадь сверх 50 (до 100 включительно) стоит уже 15 рублей. Таким образом, для $50 < n \le 100$ стоимость покупки складывается из стоимости первых 50 тетрадей и стоимости последующих $(n - 50)$ тетрадей:

$C(n) = C(50) + 15 \cdot (n - 50) = 1000 + 15n - 750 = 15n + 250$.

На этом интервале зависимость также линейная, но с меньшим коэффициентом (15 вместо 20). Это означает, что график станет более пологим. При $n = 100$ стоимость составит $C(100) = 15 \cdot 100 + 250 = 1750$ рублей.

3. Расчет стоимости для третьего диапазона (свыше 100 тетрадей).

Каждая тетрадь сверх 100 штук стоит 10 рублей. Для $n > 100$ стоимость покупки складывается из стоимости первых 100 тетрадей и стоимости последующих $(n - 100)$ тетрадей:

$C(n) = C(100) + 10 \cdot (n - 100) = 1750 + 10n - 1000 = 10n + 750$.

На этом участке график снова является прямой, но с еще меньшим углом наклона (коэффициент 10).

Анализ графиков:

Итоговая зависимость стоимости от количества представляет собой непрерывную ломаную линию, состоящую из трех отрезков. С увеличением количества тетрадей $n$ наклон каждого следующего отрезка уменьшается, то есть график становится все более пологим.

• График ① изображает именно такую зависимость: непрерывную ломаную линию, у которой наклон уменьшается. Он соответствует зависимости общей стоимости покупки от количества тетрадей.
• График ② изображает кривую, у которой наклон, наоборот, увеличивается. Это означало бы, что чем больше тетрадей покупаешь, тем дороже становится каждая следующая, что противоречит условию.
• График ③ изображает ступенчатую функцию. Такой график мог бы показывать цену одной тетради в зависимости от общего количества в партии при другой системе скидок (когда цена всех тетрадей в заказе меняется), но он не показывает общую стоимость покупки.

Таким образом, для определения общей стоимости покупки $n$ тетрадей подходит график ①.

Ответ: График ①.