Номер 5.57, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Функция у = k/x. Глава 5. Функции - номер 5.57, страница 238.

Условие.

5.57 Функция задана формулой $y = \frac{6}{x}$.

а) Заполните таблицу.

$x$	1	2	3	4	6	-1	-2	-3	-4	-6
$y$

б) Постройте график функции.

в) Определите промежуток, на котором значения функции положительны; отрицательны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данная функция $y = \frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=6$ положителен. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

а) Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо подставить заданные значения аргумента $x$ в формулу функции $y = \frac{6}{x}$ и вычислить соответствующие значения функции $y$.

При $x = 1$, $y = \frac{6}{1} = 6$.

При $x = 2$, $y = \frac{6}{2} = 3$.

При $x = 3$, $y = \frac{6}{3} = 2$.

При $x = 4$, $y = \frac{6}{4} = 1,5$.

При $x = 6$, $y = \frac{6}{6} = 1$.

При $x = -1$, $y = \frac{6}{-1} = -6$.

При $x = -2$, $y = \frac{6}{-2} = -3$.

При $x = -3$, $y = \frac{6}{-3} = -2$.

При $x = -4$, $y = \frac{6}{-4} = -1,5$.

При $x = -6$, $y = \frac{6}{-6} = -1$.

Заполненная таблица:

x	1	2	3	4	6	-1	-2	-3	-4	-6
y	6	3	2	1.5	1	-6	-3	-2	-1.5	-1

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

б) Постройте график функции.

Для построения графика функции $y = \frac{6}{x}$ используем точки из таблицы, вычисленные в пункте а): (1, 6), (2, 3), (3, 2), (4, 1.5), (6, 1) и (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-4, -1.5), (-6, -1). Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными линиями, образуя две ветви гиперболы. Оси координат Ox и Oy являются асимптотами для графика, то есть ветви гиперболы бесконечно приближаются к ним, но не пересекают их.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ (гипербола) с отмеченными точками из таблицы построен на рисунке выше.

в) Определите промежуток, на котором значения функции положительны; отрицательны.

Для определения знаков функции $y = \frac{6}{x}$ проанализируем выражение. Знак дроби зависит от знака знаменателя $x$, так как числитель 6 всегда положителен.

Положительные значения ($y > 0$): Функция принимает положительные значения, когда знаменатель $x$ положителен, то есть $x > 0$. Таким образом, промежуток, на котором значения функции положительны: $x \in (0; +\infty)$. На графике это ветвь в I координатной четверти.

Отрицательные значения ($y < 0$): Функция принимает отрицательные значения, когда знаменатель $x$ отрицателен, то есть $x < 0$. Таким образом, промежуток, на котором значения функции отрицательны: $x \in (-\infty; 0)$. На графике это ветвь в III координатной четверти.

Ответ: значения функции положительны при $x \in (0; +\infty)$; значения функции отрицательны при $x \in (-\infty; 0)$.