Номер 5.61, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Функция у = k/x. Глава 5. Функции - номер 5.61, страница 239.

Условие.

5.61 Графиком какой из функций: $y = \frac{1}{3}x$, $y = \frac{x}{3}$, $y = \frac{3}{x}$ — является гипербола? Постройте эту гиперболу.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Графиком какой из функций: $y=\frac{1}{3}x, y=\frac{x}{3}, y=\frac{3}{x}$ является гипербола?

Проанализируем каждую из представленных функций, чтобы определить тип ее графика.

• Функции $y=\frac{1}{3}x$ и $y=\frac{x}{3}$ эквивалентны. Они представляют собой прямую пропорциональность вида $y=kx$, где коэффициент $k=\frac{1}{3}$. Графиком такой функции является прямая линия, которая проходит через начало координат.
• Функция $y=\frac{3}{x}$ представляет собой обратную пропорциональность вида $y=\frac{k}{x}$, где коэффициент $k=3$. Графиком функции обратной пропорциональности является гипербола.

Ответ: Гиперболой является график функции $y=\frac{3}{x}$.

Постройте эту гиперболу.

Для построения графика гиперболы $y=\frac{3}{x}$ определим ее основные свойства и вычислим координаты нескольких точек.

1. Свойства графика:

• Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Область значений — все действительные числа, кроме $y=0$.
• Поскольку коэффициент $k=3$ является положительным числом, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях.
• Оси координат $Ox$ (уравнение $y=0$) и $Oy$ (уравнение $x=0$) служат асимптотами для графика. Это означает, что ветви гиперболы бесконечно приближаются к осям, но не пересекают их.
• Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{3}{-x} = -\frac{3}{x} = -y(x)$. Это означает, что график симметричен относительно начала координат (0,0).

2. Таблица значений:

Чтобы построить график, найдем несколько точек для первой ветви (в I четверти) и затем используем симметрию для нахождения точек второй ветви (в III четверти).

Точки для I четверти ($x>0$):

$x$	0.5	1	2	3	6
$y$	6	3	1.5	1	0.5

Симметричные точки для III четверти ($x<0$):

$x$	-6	-3	-2	-1	-0.5
$y$	-0.5	-1	-1.5	-3	-6

3. Построение:

Отметив вычисленные точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями в каждой четверти, мы получим график гиперболы. Ветви будут приближаться к осям координат, не пересекая их.

Ответ: График функции $y=\frac{3}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, симметричная относительно начала координат. Асимптотами графика являются оси $Ox$ и $Oy$.