Номер 5.64, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Функция у = k/x. Глава 5. Функции - номер 5.64, страница 239.

Условие.

5.64 В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

а) $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -x$;

б) $y = \frac{2}{x}$ и $y = x+1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для решения задачи необходимо построить графики функций $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -x$ в одной системе координат и найти координаты их точек пересечения.

График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
График функции $y = -x$ — это прямая, проходящая через начало координат (0,0) и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей.

Чтобы найти координаты точек пересечения аналитически, нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = -\frac{1}{x} \\ y = -x \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$-\frac{1}{x} = -x$
Умножим обе части на $-x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$1 = x^2$
Корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя уравнение $y = -x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -1$. Первая точка пересечения: $(1, -1)$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -(-1) = 1$. Вторая точка пересечения: $(-1, 1)$.
Ответ: $(1, -1)$, $(-1, 1)$.

б)

Аналогично, построим графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = x + 1$ и найдем координаты их точек пересечения.

График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
График функции $y = x + 1$ — это прямая, которая пересекает ось OY в точке (0, 1) и ось OX в точке (-1, 0).

Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = x + 1 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$\frac{2}{x} = x + 1$
Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$2 = x(x + 1)$
$2 = x^2 + x$
Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя уравнение $y = x + 1$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 1 = 2$. Первая точка пересечения: $(1, 2)$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 1 = -1$. Вторая точка пересечения: $(-2, -1)$.
Ответ: $(1, 2)$, $(-2, -1)$.