Номер 5.71, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Функция у = k/x. Глава 5. Функции - номер 5.71, страница 240.

Условие.

5.71 Пользуясь графиком на рисунке 5.35, определите, при каких зна- чениях $x$:

а) $y > 4$;

б) $y \ge -6$;

в) $y < 3$;

г) $y \le -3$;

д) $-1 \le y \le 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся графиком функции, представленным на рисунке 5.35. Из графика видно, что это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $(-2, -9)$. График также проходит через точки $(-5, 0)$ и $(1, 0)$.

Определим уравнение этой параболы. Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$.

Подставим координаты вершины $(-2, -9)$:

$y = a(x - (-2))^2 - 9 = a(x+2)^2 - 9$

Для нахождения коэффициента $a$ подставим координаты любой другой точки, принадлежащей графику, например, $(1, 0)$:

$0 = a(1+2)^2 - 9$

$0 = a \cdot 3^2 - 9$

$0 = 9a - 9$

$9a = 9$

$a = 1$

Таким образом, функция, график которой изображен на рисунке, задается формулой $y = (x+2)^2 - 9$.

Теперь, используя эту формулу, найдем значения $x$, при которых выполняются заданные условия.

а) Найдем значения $x$, при которых $y > 4$.

Графически это соответствует тем значениям $x$, для которых точки параболы лежат выше горизонтальной прямой $y=4$. Для нахождения этих значений решим неравенство:

$(x+2)^2 - 9 > 4$

$(x+2)^2 > 13$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x+2 > \sqrt{13}$ или $x+2 < -\sqrt{13}$

$x > -2 + \sqrt{13}$ или $x < -2 - \sqrt{13}$

Ответ: $x \in (-\infty; -2-\sqrt{13}) \cup (-2+\sqrt{13}; \infty)$.

б) Найдем значения $x$, при которых $y \geq -6$.

Графически это соответствует тем значениям $x$, для которых точки параболы лежат на или выше горизонтальной прямой $y=-6$. Решим неравенство:

$(x+2)^2 - 9 \geq -6$

$(x+2)^2 \geq 3$

Это неравенство выполняется, когда $|x+2| \geq \sqrt{3}$. Решением является объединение двух промежутков, но так как парабола имеет минимум, то решением будет отрезок между корнями уравнения $(x+2)^2 = 3$.

$x+2 = \pm\sqrt{3}$

$x = -2 \pm\sqrt{3}$

Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство $y \geq -6$ выполняется между этими значениями $x$.

Ответ: $x \in [-2-\sqrt{3}; -2+\sqrt{3}]$.

в) Найдем значения $x$, при которых $y < 3$.

Графически это соответствует тем значениям $x$, для которых точки параболы лежат ниже горизонтальной прямой $y=3$. Решим неравенство:

$(x+2)^2 - 9 < 3$

$(x+2)^2 < 12$

Это неравенство равносильно $|x+2| < \sqrt{12}$, или $|x+2| < 2\sqrt{3}$.

$-2\sqrt{3} < x+2 < 2\sqrt{3}$

$-2 - 2\sqrt{3} < x < -2 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $x \in (-2-2\sqrt{3}; -2+2\sqrt{3})$.

г) Найдем значения $x$, при которых $y \leq -3$.

Графически это соответствует тем значениям $x$, для которых точки параболы лежат на или ниже горизонтальной прямой $y=-3$. Решим неравенство:

$(x+2)^2 - 9 \leq -3$

$(x+2)^2 \leq 6$

Это неравенство равносильно $|x+2| \leq \sqrt{6}$.

$-\sqrt{6} \leq x+2 \leq \sqrt{6}$

$-2 - \sqrt{6} \leq x \leq -2 + \sqrt{6}$

Ответ: $x \in [-2-\sqrt{6}; -2+\sqrt{6}]$.

д) Найдем значения $x$, при которых $-1 \leq y \leq 1$.

Это двойное неравенство. Графически это соответствует тем значениям $x$, для которых точки параболы лежат между горизонтальными прямыми $y=-1$ и $y=1$ (включая сами прямые).

Решим два неравенства: $y \geq -1$ и $y \leq 1$.

1. $y \geq -1 \implies (x+2)^2 - 9 \geq -1 \implies (x+2)^2 \geq 8$.

Решение: $x+2 \geq \sqrt{8}$ или $x+2 \leq -\sqrt{8}$.

$x \geq -2+2\sqrt{2}$ или $x \leq -2-2\sqrt{2}$.

Таким образом, $x \in (-\infty; -2-2\sqrt{2}] \cup [-2+2\sqrt{2}; \infty)$.

2. $y \leq 1 \implies (x+2)^2 - 9 \leq 1 \implies (x+2)^2 \leq 10$.

Решение: $-\sqrt{10} \leq x+2 \leq \sqrt{10}$.

$-2-\sqrt{10} \leq x \leq -2+\sqrt{10}$.

Таким образом, $x \in [-2-\sqrt{10}; -2+\sqrt{10}]$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение этих двух множеств. Это соответствует двум отдельным отрезкам на оси $x$, симметричным относительно оси параболы $x=-2$.

Первый отрезок: $[-2-\sqrt{10}; -2-2\sqrt{2}]$.

Второй отрезок: $[-2+2\sqrt{2}; -2+\sqrt{10}]$.

Объединяем эти два отрезка.

Ответ: $x \in [-2-\sqrt{10}; -2-2\sqrt{2}] \cup [-2+2\sqrt{2}; -2+\sqrt{10}]$.