Номер 5.77, страница 242 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Целая и дробная части числа. Глава 5. Функции - номер 5.77, страница 242.

Условие.

Постройте график функции (5.77–5.80).

5.77 а) $y=[x-1];$

б) $y=[x]-2;$

в) $y=[2x];$

г) $y=[x] + \frac{1}{2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Во всех задачах используется функция «целая часть числа», обозначаемая как $[x]$. Эта функция для любого действительного числа $x$ возвращает наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[3.14] = 3$, $[5] = 5$, $[-2.7] = -3$. График базовой функции $y = [x]$ представляет собой "лесенку", состоящую из горизонтальных отрезков. Для каждого целого числа $n$ на промежутке $x \in [n, n+1)$ значение функции постоянно и равно $y=n$. Левый конец каждого отрезка (точка $(n, n)$) принадлежит графику, а правый (точка $(n+1, n)$) — нет.

а)

Рассмотрим функцию $y = [x-1]$.
Для функции целой части существует свойство: $[a+k] = [a]+k$, где $k$ — любое целое число. В нашем случае $k=-1$, поэтому $[x-1] = [x]-1$. Таким образом, данную функцию можно представить в виде $y = [x] - 1$.
Построение графика такой функции сводится к построению графика $y=[x]$ и его последующему преобразованию. Выражение $y = f(x) - c$ означает сдвиг графика функции $f(x)$ на $c$ единиц вниз по оси ординат. В нашем случае $c=1$.
Следовательно, чтобы построить график функции $y = [x] - 1$, нужно сдвинуть график функции $y = [x]$ на 1 единицу вниз.
Так, для каждого промежутка $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, значение функции $y = [x]$ равно $n$. Для функции $y = [x] - 1$ на этом же промежутке значение будет равно $n - 1$.
Например:
- при $x \in [0, 1)$, $y = [x] - 1 = 0 - 1 = -1$;
- при $x \in [1, 2)$, $y = [x] - 1 = 1 - 1 = 0$;
- при $x \in [-1, 0)$, $y = [x] - 1 = -1 - 1 = -2$.
График представляет собой "лесенку", ступеньки которой — это горизонтальные отрезки длиной 1. Левая точка каждого отрезка с координатами $(n, n-1)$ включена в график, а правая точка $(n+1, n-1)$ — не включена.
Ответ: График функции $y = [x-1]$ получается путем сдвига графика функции $y = [x]$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

б)

Рассмотрим функцию $y = [x] - 2$.
Это преобразование вида $y = f(x) - c$, где $f(x) = [x]$ и $c=2$. Такое преобразование соответствует сдвигу графика исходной функции на $c$ единиц вниз по оси ординат.
Следовательно, для построения графика функции $y = [x] - 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = [x]$ на 2 единицы вниз.
На каждом промежутке $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, значение функции $y = [x]$ равно $n$. Соответственно, значение функции $y = [x] - 2$ на этом же промежутке будет равно $n-2$.
Например:
- при $x \in [0, 1)$, $y = [x] - 2 = 0 - 2 = -2$;
- при $x \in [1, 2)$, $y = [x] - 2 = 1 - 2 = -1$;
- при $x \in [2, 3)$, $y = [x] - 2 = 2 - 2 = 0$.
График функции — это "лесенка" из горизонтальных отрезков. Для каждого целого $n$, на промежутке $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой $y=n-2$ с включенной левой точкой $(n, n-2)$ и выколотой правой точкой $(n+1, n-2)$.
Ответ: График функции $y = [x] - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = [x]$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

в)

Рассмотрим функцию $y = [2x]$.
Это преобразование вида $y = f(kx)$, где $f(x) = [x]$ и $k=2$. Такое преобразование соответствует сжатию графика исходной функции по горизонтали (к оси $Oy$) в $k$ раз.
В нашем случае график функции $y=[x]$ сжимается в 2 раза вдоль оси $Ox$. Это означает, что длина каждой "ступеньки" уменьшится вдвое.
Найдем, на каких промежутках функция принимает постоянные целые значения. Пусть $[2x] = n$ для некоторого целого $n$. По определению целой части это означает, что $n \le 2x < n+1$.
Разделив неравенство на 2, получим: $\frac{n}{2} \le x < \frac{n+1}{2}$.
Длина каждого такого промежутка для $x$ равна $\frac{n+1}{2} - \frac{n}{2} = \frac{1}{2}$.
Например:
- при $x \in [0, 1/2)$, $y = [2x] = 0$;
- при $x \in [1/2, 1)$, $y = [2x] = 1$;
- при $x \in [1, 3/2)$, $y = [2x] = 2$;
- при $x \in [-1/2, 0)$, $y = [2x] = -1$.
График представляет собой "лесенку", у которой "ступеньки" имеют длину $1/2$. Скачки происходят в точках $x = k/2$, где $k$ — целое число.
Ответ: График функции $y = [2x]$ получается путем сжатия графика функции $y = [x]$ в 2 раза к оси $Oy$.

г)

Рассмотрим функцию $y = [x] + \frac{1}{2}$.
Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $f(x) = [x]$ и $c=\frac{1}{2}$. Такое преобразование соответствует сдвигу графика исходной функции на $c$ единиц вверх по оси ординат.
Следовательно, для построения графика функции $y = [x] + \frac{1}{2}$ необходимо сдвинуть график функции $y = [x]$ на $\frac{1}{2}$ единицы вверх.
На каждом промежутке $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, значение функции $y = [x]$ равно $n$. Соответственно, значение функции $y = [x] + \frac{1}{2}$ на этом же промежутке будет равно $n + \frac{1}{2}$.
Например:
- при $x \in [0, 1)$, $y = [x] + \frac{1}{2} = 0 + 0.5 = 0.5$;
- при $x \in [1, 2)$, $y = [x] + \frac{1}{2} = 1 + 0.5 = 1.5$;
- при $x \in [-1, 0)$, $y = [x] + \frac{1}{2} = -1 + 0.5 = -0.5$.
График функции — это "лесенка" из горизонтальных отрезков длиной 1. Для каждого целого $n$, на промежутке $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой $y=n+0.5$ с включенной левой точкой $(n, n+0.5)$ и выколотой правой точкой $(n+1, n+0.5)$.
Ответ: График функции $y = [x] + \frac{1}{2}$ получается путем сдвига графика функции $y = [x]$ на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси $Oy$.