Номер 5.58, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Функция у = k/x. Глава 5. Функции - номер 5.58, страница 238.

Условие.

5.58 Функция задана формулой $f(x) = -\frac{6}{x}$.

a) Заполните таблицу.

$x$	1	2	3	4	6	-1	-2	-3	-4	-6
$f(x)$

б) Постройте график функции.

в) Определите промежуток, на котором $f(x) > 0$; $f(x) < 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо подставить каждое значение аргумента $x$ в формулу функции $f(x) = -\frac{6}{x}$ и вычислить соответствующее значение функции $f(x)$.

• При $x=1$: $f(1) = -\frac{6}{1} = -6$
• При $x=2$: $f(2) = -\frac{6}{2} = -3$
• При $x=3$: $f(3) = -\frac{6}{3} = -2$
• При $x=4$: $f(4) = -\frac{6}{4} = -1,5$
• При $x=6$: $f(6) = -\frac{6}{6} = -1$
• При $x=-1$: $f(-1) = -\frac{6}{-1} = 6$
• При $x=-2$: $f(-2) = -\frac{6}{-2} = 3$
• При $x=-3$: $f(-3) = -\frac{6}{-3} = 2$
• При $x=-4$: $f(-4) = -\frac{6}{-4} = 1,5$
• При $x=-6$: $f(-6) = -\frac{6}{-6} = 1$

Внесем полученные значения в таблицу.

Ответ:

$x$	1	2	3	4	6	-1	-2	-3	-4	-6
$f(x)$	-6	-3	-2	-1,5	-1	6	3	2	1,5	1

б) Постройте график функции.

Функция $f(x) = -\frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью. Графиком такой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k = -6$ отрицателен, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой координатных четвертях. Для построения графика воспользуемся точками, вычисленными в пункте а).

Отметим на координатной плоскости точки $(1; -6)$, $(2; -3)$, $(3; -2)$, $(4; -1,5)$, $(6; -1)$ и $(-1; 6)$, $(-2; 3)$, $(-3; 2)$, $(-4; 1,5)$, $(-6; 1)$. Соединим точки каждой группы плавной линией. Полученные кривые являются ветвями гиперболы. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами для этого графика, то есть ветви гиперболы бесконечно приближаются к ним, но не пересекают.

Ответ:

в) Определите промежуток, на котором $f(x) > 0; f(x) < 0$.

Промежутки, на которых функция положительна или отрицательна (промежутки знакопостоянства), можно определить двумя способами: аналитически (решая неравенства) или графически (анализируя положение графика относительно оси $Ox$).

Аналитический способ:

1. Найдем значения $x$, при которых $f(x) > 0$:

$-\frac{6}{x} > 0$

Это неравенство равносильно неравенству $\frac{6}{x} < 0$. Так как числитель $6$ является положительным числом, дробь будет отрицательной только в том случае, если знаменатель $x$ отрицателен. Таким образом, $f(x) > 0$ при $x < 0$.

2. Найдем значения $x$, при которых $f(x) < 0$:

$-\frac{6}{x} < 0$

Это неравенство равносильно неравенству $\frac{6}{x} > 0$. Так как числитель $6$ является положительным числом, дробь будет положительной только в том случае, если знаменатель $x$ положителен. Таким образом, $f(x) < 0$ при $x > 0$.

Графический способ:

1. Функция $f(x) > 0$ на тех промежутках, где ее график расположен выше оси абсцисс ($Ox$). Глядя на построенный график, мы видим, что это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Это соответствует всем отрицательным значениям $x$.

2. Функция $f(x) < 0$ на тех промежутках, где ее график расположен ниже оси абсцисс ($Ox$). Это ветвь гиперболы, расположенная в четвертой координатной четверти. Это соответствует всем положительным значениям $x$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $f(x) < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.