Номер 5.55, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.4. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 5.55, страница 234.

Условие.

5.55 Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} -\frac{x}{3}, & \text{если } x \le -1 \\ \frac{1}{3}, & \text{если } -1 < x \le 1 \\ \frac{x}{3}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{x-2}{2}, & \text{если } x \le -2 \\ -2, & \text{если } -2 < x \le 2 \\ \frac{x-6}{2}, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения её графика необходимо построить график каждой из трёх функций на соответствующем промежутке.

1. При $x \le -1$, функция задаётся формулой $y = -\frac{x}{3}$. Это линейная функция, её график — прямая. Так как $x$ ограничен промежутком $(-\infty; -1]$, графиком будет луч. Для построения луча найдём две точки.

Найдём значение функции на границе промежутка: при $x = -1$, $y = - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$. Получаем точку $(-1; \frac{1}{3})$. Так как неравенство нестрогое, точка будет закрашенной.

Возьмём ещё одно значение $x$ из этого промежутка, например, $x = -3$: $y = - \frac{-3}{3} = 1$. Получаем точку $(-3; 1)$.

Проводим луч, который начинается в точке $(-1; \frac{1}{3})$ и проходит через точку $(-3; 1)$.

2. При $-1 < x \le 1$, функция задаётся формулой $y = \frac{1}{3}$. Это постоянная функция, её график — горизонтальный отрезок прямой.

На границах промежутка:

При $x=1$, $y=\frac{1}{3}$. Точка $(1; \frac{1}{3})$ — закрашенная.

При $x=-1$, значение не определено на этом участке, но мы можем найти предел справа: $\lim_{x \to -1^+} y = \frac{1}{3}$. Точка $(-1; \frac{1}{3})$ — выколотая (пустая).

Так как в точке $x = -1$ конец первого луча $(-1; \frac{1}{3})$ совпадает с началом этого отрезка, разрыва функции не будет.

3. При $x > 1$, функция задаётся формулой $y = \frac{x}{3}$. Это линейная функция, её график — луч.

Найдём начальную точку луча (предел слева): при $x \to 1^+$, $y \to \frac{1}{3}$. Точка $(1; \frac{1}{3})$ — выколотая. Эта точка совпадает с концом предыдущего отрезка, поэтому разрыва в $x=1$ не будет.

Возьмём ещё одно значение $x$ из этого промежутка, например, $x = 3$: $y = \frac{3}{3} = 1$. Получаем точку $(3; 1)$.

Проводим луч, который начинается в точке $(1; \frac{1}{3})$ и проходит через точку $(3; 1)$.

Ответ: График функции состоит из трёх частей, непрерывно соединённых в точках $(-1; \frac{1}{3})$ и $(1; \frac{1}{3})$. Слева от $x=-1$ — луч $y = -x/3$, идущий вверх. В интервале от $-1$ до $1$ — горизонтальный отрезок $y = 1/3$. Справа от $x=1$ — луч $y = x/3$, также идущий вверх. График является непрерывным и симметричным относительно оси Oy.

б)

Построим график данной кусочной функции, рассмотрев каждый интервал отдельно.

1. При $x \le -2$, функция задаётся формулой $y = \frac{x-2}{2} = \frac{1}{2}x - 1$. Графиком является луч.

На границе промежутка при $x = -2$: $y = \frac{-2-2}{2} = -2$. Точка $(-2; -2)$ — закрашенная.

Возьмём ещё одну точку, например, $x = -4$: $y = \frac{-4-2}{2} = -3$. Точка $(-4; -3)$.

Проводим луч из точки $(-2; -2)$ через точку $(-4; -3)$.

2. При $-2 < x \le 2$, функция задаётся формулой $y = -2$. Графиком является горизонтальный отрезок прямой.

На границах промежутка:

При $x=2$, $y=-2$. Точка $(2; -2)$ — закрашенная.

При $x \to -2^+$, $y \to -2$. Точка $(-2; -2)$ — выколотая.

Эта выколотая точка совпадает с конечной точкой предыдущего луча, поэтому функция в точке $x=-2$ непрерывна.

3. При $x > 2$, функция задаётся формулой $y = \frac{x-6}{2} = \frac{1}{2}x - 3$. Графиком является луч.

Найдём начальную точку луча: при $x \to 2^+$, $y \to \frac{2-6}{2} = -2$. Точка $(2; -2)$ — выколотая. Эта точка совпадает с конечной точкой предыдущего отрезка, поэтому функция в точке $x=2$ непрерывна.

Возьмём ещё одну точку, например, $x = 6$: $y = \frac{6-6}{2} = 0$. Точка $(6; 0)$.

Проводим луч из точки $(2; -2)$ через точку $(6; 0)$.

Ответ: График функции состоит из трёх непрерывно соединённых частей. Для $x \le -2$ это луч, идущий из точки $(-2; -2)$ через точку $(-4; -3)$. Для $-2 < x \le 2$ это горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(-2; -2)$ и $(2; -2)$. Для $x > 2$ это луч, идущий из точки $(2; -2)$ через точку $(6; 0)$. Функция непрерывна на всей числовой оси.