Номер 5.56, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.4. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 5.56, страница 234.

Условие.

5.56 На рисунке 5.34 построен график функции

$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x + 3, & \text{если } x \le 2 \\ x - 4, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Стрелка, поставленная на одном из лучей, означает, что точка (2; –2) не принадлежит графику. Ответьте на вопросы:

а) Какова область определения функции?

б) Чему равно значение функции при $x = -1; 0; 1; 2; 3$?

в) Сколько нулей имеет функция?

г) На каких промежутках функция возрастает; убывает?

д) На каких промежутках функция положительна; отрицательна?

Рис. 5.34

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Какова область определения функции?

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Данная функция задана двумя формулами для двух разных промежутков:

1. $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$ для всех $x \le 2$, то есть на промежутке $(-\infty, 2]$.

2. $f(x) = x - 4$ для всех $x > 2$, то есть на промежутке $(2, +\infty)$.

Область определения функции является объединением этих двух промежутков: $(-\infty, 2] \cup (2, +\infty)$. Это объединение покрывает всю числовую ось.

Ответ: область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

б) Чему равно значение функции при x = -1; 0; 1; 2; 3?

Чтобы найти значение функции в точке, нужно определить, какому из промежутков области определения принадлежит эта точка, и подставить ее в соответствующую формулу.

• При $x = -1$: так как $-1 \le 2$, используем первую формулу: $f(-1) = -\frac{1}{2}(-1) + 3 = \frac{1}{2} + 3 = 3.5$.
• При $x = 0$: так как $0 \le 2$, используем первую формулу: $f(0) = -\frac{1}{2}(0) + 3 = 0 + 3 = 3$.
• При $x = 1$: так как $1 \le 2$, используем первую формулу: $f(1) = -\frac{1}{2}(1) + 3 = -0.5 + 3 = 2.5$.
• При $x = 2$: так как $2 \le 2$, используем первую формулу: $f(2) = -\frac{1}{2}(2) + 3 = -1 + 3 = 2$.
• При $x = 3$: так как $3 > 2$, используем вторую формулу: $f(3) = 3 - 4 = -1$.

Ответ: $f(-1) = 3.5$; $f(0) = 3$; $f(1) = 2.5$; $f(2) = 2$; $f(3) = -1$.

в) Сколько нулей имеет функция?

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Найдем нули для каждой части функции.

1. Для $x \le 2$: $-\frac{1}{2}x + 3 = 0$ $-\frac{1}{2}x = -3$ $x = 6$ Значение $x=6$ не удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, на этом промежутке нулей нет.

2. Для $x > 2$: $x - 4 = 0$ $x = 4$ Значение $x=4$ удовлетворяет условию $x > 2$, следовательно, это нуль функции.

Таким образом, функция имеет только один нуль, что также видно на графике (точка пересечения с осью $Ox$).

Ответ: функция имеет один нуль.

г) На каких промежутках функция возрастает; убывает?

Направление изменения функции определяется знаком углового коэффициента (для линейных функций).

• На промежутке $(-\infty, 2]$ функция задана формулой $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$. Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$ отрицательный, значит, на этом промежутке функция убывает.
• На промежутке $(2, +\infty)$ функция задана формулой $f(x) = x - 4$. Угловой коэффициент $k = 1$ положительный, значит, на этом промежутке функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $(2, +\infty)$.

д) На каких промежутках функция положительна; отрицательна?

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, где $f(x) > 0$ (положительна) или $f(x) < 0$ (отрицательна). Границей смены знака является нуль функции $x=4$.

• Функция положительна ($f(x) > 0$):
  На промежутке $(-\infty, 2]$ функция $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$. Мы знаем, что $f(2)=2$, а при $x<2$ значения функции еще больше (т.к. она убывает). Значит, на всем промежутке $(-\infty, 2]$ функция положительна.
  На промежутке $(2, +\infty)$ функция $f(x) = x-4$. Решим неравенство $x-4 > 0$, откуда $x > 4$.
  Таким образом, функция положительна при $x \in (-\infty, 2] \cup (4, +\infty)$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$):
  На промежутке $(-\infty, 2]$ функция всегда положительна.
  На промежутке $(2, +\infty)$ решим неравенство $x-4 < 0$, откуда $x < 4$. С учетом условия $x > 2$, получаем, что функция отрицательна на промежутке $(2, 4)$.

Ответ: функция положительна на промежутках $(-\infty, 2]$ и $(4, +\infty)$; функция отрицательна на промежутке $(2, 4)$.