Номер 5.62, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Функция у = k/x. Глава 5. Функции - номер 5.62, страница 239.

Условие.

5.62 В одной системе координат постройте графики функций: $y=\frac{1}{x}$, $y=\frac{4}{x}$, $y=-\frac{2}{x}$, $y=-\frac{8}{x}$. Как зависит расположение графика функции $y=\frac{k}{x}$ от знака коэффициента $k$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для построения графиков функций, которые являются гиперболами, составим таблицы значений для каждой функции. Асимптотами для всех графиков служат оси координат $Ox$ и $Oy$.

$y = \frac{1}{x}$

Это гипербола с коэффициентом $k=1$. Составим таблицу значений:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y$	-0.25	-0.5	-1	-2	2	1	0.5	0.25

$y = \frac{4}{x}$

Это гипербола с коэффициентом $k=4$. Составим таблицу значений:

$x$	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
$y$	-0.5	-1	-2	-4	4	2	1	0.5

$y = -\frac{2}{x}$

Это гипербола с коэффициентом $k=-2$. Составим таблицу значений:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y$	0.5	1	2	4	-4	-2	-1	-0.5

$y = -\frac{8}{x}$

Это гипербола с коэффициентом $k=-8$. Составим таблицу значений:

$x$	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
$y$	1	2	4	8	-8	-4	-2	-1

Построив графики по этим точкам в одной системе координат, мы получим четыре гиперболы. Графики функций $y = 1/x$ и $y = 4/x$ (где коэффициент $k > 0$) расположены в I и III координатных четвертях. Графики функций $y = -2/x$ и $y = -8/x$ (где коэффициент $k < 0$) расположены во II и IV координатных четвертях. При этом чем больше модуль коэффициента $|k|$, тем дальше от начала координат расположены ветви гиперболы.

Ответ: графики построены на основе таблиц значений, все графики являются гиперболами с асимптотами на осях координат.

Как зависит расположение графика функции $y = \frac{k}{x}$ от знака коэффициента $k$?

Расположение графика функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ напрямую зависит от знака коэффициента $k$.

1. Если коэффициент $k > 0$ (положительный), то ветви гиперболы располагаются в первой (I) и третьей (III) координатных четвертях. В этих четвертях знаки координат $x$ и $y$ совпадают (x > 0, y > 0 или x < 0, y < 0). В нашем примере это функции $y = 1/x$ и $y = 4/x$.
2. Если коэффициент $k < 0$ (отрицательный), то ветви гиперболы располагаются во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях. В этих четвертях знаки координат $x$ и $y$ различны (x < 0, y > 0 или x > 0, y < 0). В нашем примере это функции $y = -2/x$ и $y = -8/x$.

Таким образом, знак коэффициента $k$ определяет, в какой паре противолежащих четвертей находятся ветви гиперболы.

Ответ: Если $k > 0$, график расположен в I и III четвертях. Если $k < 0$, график расположен во II и IV четвертях.