Номер 5.47, страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.4. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 5.47, страница 232.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ (5.47–5.48)

5.47 На рисунке 5.31 изображены графики линейных функций. Соотнесите каждую из них с одной из формул:

$y = 2x + 3$; $y = -2x$; $y = \frac{1}{2}x + 3$; $y = -2x + 3$.

Рис. 5.31

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для соотнесения графиков с формулами линейных функций вида $y = kx + b$ проанализируем каждую из них. Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой: если $k > 0$, функция возрастает (график идет вверх слева направо), а если $k < 0$ — убывает (график идет вниз слева направо). Чем больше абсолютное значение коэффициента $k$, тем круче наклон графика. Коэффициент $b$ (свободный член) показывает точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$), то есть $y$-координату точки $(0, b)$.

График ①

Этот график — убывающая прямая, что означает, что её угловой коэффициент $k$ отрицателен. Прямая пересекает ось ординат (ось $y$) в точке $(0, 3)$, следовательно, свободный член $b=3$. Таким образом, уравнение имеет вид $y = kx + 3$ при $k<0$. Из предложенных формул этому условию соответствует $y = -2x + 3$. Для проверки найдем еще одну точку на графике, например, $(1.5, 0)$. Подставим её в уравнение: $0 = -2 \cdot 1.5 + 3$, что равно $0 = -3 + 3$, — верное равенство. Следовательно, график ① соответствует данной формуле.

Ответ: $y = -2x + 3$

График ②

Этот график — убывающая прямая, значит, её угловой коэффициент $k$ отрицателен. Прямая проходит через начало координат, точку $(0, 0)$, следовательно, свободный член $b=0$. Уравнение имеет вид $y = kx$. Этому условию соответствует только одна формула: $y = -2x$. Проверим по другой точке на графике, например, $(-1, 2)$. Подставим в уравнение: $2 = -2 \cdot (-1)$, что равно $2 = 2$, — верное равенство. Таким образом, график ② соответствует данной формуле.

Ответ: $y = -2x$

График ③

Этот график — возрастающая прямая, значит, её угловой коэффициент $k$ положителен. Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$, следовательно, свободный член $b=3$. Уравнение имеет вид $y = kx + 3$ при $k>0$. Этому условию соответствуют две формулы: $y = 2x + 3$ и $y = \frac{1}{2}x + 3$. График ③ имеет более крутой наклон, чем график ④, что означает, что его угловой коэффициент больше. Так как $2 > \frac{1}{2}$, то график ③ соответствует формуле $y = 2x + 3$. Проверим по точке $(-1, 1)$, через которую проходит график: $1 = 2 \cdot (-1) + 3$, что равно $1 = -2 + 3$, — верное равенство.

Ответ: $y = 2x + 3$

График ④

Этот график — возрастающая прямая, поэтому её угловой коэффициент $k$ положителен. Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$, следовательно, $b=3$. Уравнение имеет вид $y = kx + 3$ при $k>0$. Из оставшихся формул этому условию удовлетворяет $y = \frac{1}{2}x + 3$. Наклон этого графика менее крутой, чем у графика ③, что соответствует меньшему угловому коэффициенту ($\frac{1}{2} < 2$). Проверим по точке $(-2, 2)$, через которую проходит график: $2 = \frac{1}{2} \cdot (-2) + 3$, что равно $2 = -1 + 3$, — верное равенство.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 3$