Номер 9, страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 5. Функции - номер 9, страница 245.

Условие.

9 Постройте график функции $y = \frac{6}{x}$.

а) Укажите область определения этой функции.

б) При каких значениях $x$ значения функции больше нуля? меньше нуля?

в) Возрастает или убывает функция при $x < 0$? при $x > 0$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данная функция $y = \frac{6}{x}$ — это обратная пропорциональность, её график называется гиперболой.

Поскольку коэффициент $k=6$ положителен ($6 > 0$), ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях.

Асимптотами графика являются оси координат: ось абсцисс $Ox$ (её уравнение $y=0$) и ось ординат $Oy$ (её уравнение $x=0$). График приближается к этим осям, но не пересекает их.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему, и составим таблицу значений.

Для положительных значений $x$ (I четверть):

$x$	1	2	3	6
$y$	6	3	2	1

Для отрицательных значений $x$ (III четверть):

$x$	-1	-2	-3	-6
$y$	-6	-3	-2	-1

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, мы получим график функции — гиперболу.

а) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. В выражении $y = \frac{6}{x}$ есть деление на переменную $x$. Операция деления на ноль не определена, поэтому знаменатель не может быть равен нулю: $x \neq 0$. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $D(y): x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) Для определения знаков функции рассмотрим неравенства $y>0$ и $y<0$.

1. Значения функции больше нуля ($y > 0$):

Решим неравенство $\frac{6}{x} > 0$. Числитель дроби, равный 6, — положительное число. Чтобы вся дробь была положительной, её знаменатель также должен быть положительным. Отсюда следует, что $x > 0$.

2. Значения функции меньше нуля ($y < 0$):

Решим неравенство $\frac{6}{x} < 0$. Так как числитель 6 положителен, для того чтобы дробь была отрицательной, её знаменатель должен быть отрицательным. Отсюда следует, что $x < 0$.

Ответ: значения функции больше нуля при $x \in (0; +\infty)$; значения функции меньше нуля при $x \in (-\infty; 0)$.

в) Чтобы определить промежутки возрастания и убывания, проанализируем поведение функции на каждом из интервалов её области определения.

1. При $x > 0$ (интервал $(0; +\infty)$):

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из этого интервала, такие что $x_1 < x_2$. Тогда $y_1 = \frac{6}{x_1}$ и $y_2 = \frac{6}{x_2}$. Сравним их. Из $0 < x_1 < x_2$ следует, что $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$. Умножив обе части на положительное число 6, получим $\frac{6}{x_1} > \frac{6}{x_2}$, то есть $y_1 > y_2$. Поскольку большему значению аргумента $x_2$ соответствует меньшее значение функции $y_2$, функция убывает на этом интервале.

2. При $x < 0$ (интервал $(-\infty; 0)$):

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из этого интервала, такие что $x_1 < x_2$. Тогда $y_1 = \frac{6}{x_1}$ и $y_2 = \frac{6}{x_2}$. Из $x_1 < x_2 < 0$ также следует, что $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$. Умножив на 6, получим $\frac{6}{x_1} > \frac{6}{x_2}$, то есть $y_1 > y_2$. Таким образом, и на этом интервале большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, значит, функция убывает.

Ответ: функция убывает при $x < 0$ и при $x > 0$.